148110Apollonij Pergæi
PROPOSITIO XXXXIII.
SI inclinatus axis hyperboles erectum non excedit, nulla li-
11a nearum breuiſſimarum ſectioni ex altera parte occurret: ſi
verò maior illo fuerit, tunc breuiſſimarum linearum aliquæ oc-
currunt ſectioni, aliquæ verò non occurrunt.
22b11a nearum breuiſſimarum ſectioni ex altera parte occurret: ſi
verò maior illo fuerit, tunc breuiſſimarum linearum aliquæ oc-
currunt ſectioni, aliquæ verò non occurrunt.
Sit priùs D A non maior, quàm A G:
&
quia D A ad A G eandẽ pro-
portionem habet, quàm quadratum D A ad quadratum A E, erit D A
non maior quàm A E; & propterea angulus D E A non crit maior an-
gulo E D A: ſed maior fuerat angulo B C H (41. ex 5.) ergo angulus
E D A, nempe A D F maior eſt, quàm B C D, & propterea B C, D F
non conueniunt ad partes C, F; igitur B C non occurrit ſectioni ad par-
tes K, A; eo quod ſi illam ſecaret, etiam ipſi D F occurreret (8. ex 2.)
quare non occurrit ſectioni in duobus punctis.
portionem habet, quàm quadratum D A ad quadratum A E, erit D A
non maior quàm A E; & propterea angulus D E A non crit maior an-
gulo E D A: ſed maior fuerat angulo B C H (41. ex 5.) ergo angulus
E D A, nempe A D F maior eſt, quàm B C D, & propterea B C, D F
non conueniunt ad partes C, F; igitur B C non occurrit ſectioni ad par-
tes K, A; eo quod ſi illam ſecaret, etiam ipſi D F occurreret (8. ex 2.)
quare non occurrit ſectioni in duobus punctis.
Deinde ſit D A maior, quàm A
135[Figure 135]33c
G habebit E A ad A G maiorem
proportionẽ, quàm ad A D; & po-
natur I A ad A G, vt E A ad A
D; ergo I A minor eſt, quàm E A,
44Secunda
lib. 2. quare recta D B, illam diuidens,
occurret ſectioni, & cadat in B, du-
caturque linea breuiſſima B C, &
B H perpendicularis ad D C; erit
I A ad A D, vt B H ad H D; eſt-
que D A ad A G, vt D H ad H C;
5514. huius. ergo I A ad A G, nempe E A ad
A D eſt, vt B H ad H C, & pro-
pterea duo triangula E A D, B H
C ſunt ſimilia; igitur angulus B C
H æqualis eſt E D A, nempe F D A; quare B C, D F ſunt parallelæ,
nec poſſunt ſe ſe mutuo ſecare; ergo B C non occurret ſectioni K A.
6613. lib. 2. Lineæ vero breuiſſimæ, quæ in peripheria A B cadunt, continent cum.
C A angulos minores angulo B C D (26. 27. ex 5.) vnde non occurrent
77Conuerſ.
8. lib. 2. ipſi D F, & propterea neque ſectioni occurrent. At ille, qui cadit extra
hanc ſectionis peripheriam; ſi producatur continet cum C D angulum.
maiorem angulo B C D (26. 27. ex 5.) igitur productus occurrit D F,
& occurrit ſectioni A K: quod erat oſtendendum.
proportionẽ, quàm ad A D; & po-
natur I A ad A G, vt E A ad A
D; ergo I A minor eſt, quàm E A,
44Secunda
lib. 2. quare recta D B, illam diuidens,
occurret ſectioni, & cadat in B, du-
caturque linea breuiſſima B C, &
B H perpendicularis ad D C; erit
I A ad A D, vt B H ad H D; eſt-
que D A ad A G, vt D H ad H C;
5514. huius. ergo I A ad A G, nempe E A ad
A D eſt, vt B H ad H C, & pro-
pterea duo triangula E A D, B H
C ſunt ſimilia; igitur angulus B C
H æqualis eſt E D A, nempe F D A; quare B C, D F ſunt parallelæ,
nec poſſunt ſe ſe mutuo ſecare; ergo B C non occurret ſectioni K A.
6613. lib. 2. Lineæ vero breuiſſimæ, quæ in peripheria A B cadunt, continent cum.
C A angulos minores angulo B C D (26. 27. ex 5.) vnde non occurrent
77Conuerſ.
8. lib. 2. ipſi D F, & propterea neque ſectioni occurrent. At ille, qui cadit extra
hanc ſectionis peripheriam; ſi producatur continet cum C D angulum.
maiorem angulo B C D (26. 27. ex 5.) igitur productus occurrit D F,
& occurrit ſectioni A K: quod erat oſtendendum.
Notæ in Propoſ. XXXXI.
ANgulus contentus à breuiſſima linea, &
menſura minor eſt angulo
contento à diſtante cum continente in ſectione, & c. Adijcio
contento à diſtante cum continente in ſectione, & c. Adijcio