183145Conicor. Lib. VI.
ſectiones æquales eſſe.
Sumatur quodlibet punctum B in ſectione B A ducaturque
ordinatim applicata B E, ſeceturque C F æqualis A E, & ducatur ordinatim
D F. Maniſeſtum eſt, rectangula E A I, & F C N æqualia eße (cum latera
ſint æqualia, ſingula ſingulis); his verò rectangulis æqualia ſunt quadrata or-
1111. lib. 1. dinatim applicatarum B E, D F; ergo & quadrata ſunt æqualia, atque eorum
latera B E, D F æqualia quoque. Si igitur parabolæ ſuperponantur ita, vt
punctum E ſuper F, & diameter A E ſuper C F cadat, neceſſariò punctum A
ſuper C cadet (propter æqualitatem abſcißarum) atque punctum B ſuper punctũ
D incidet (propterea quod anguli E, & F æquales ſunt, pariterque rectæ B E,
& D F ſunt æquales), & quia quodlibet punctum B parabolæ A B cadit ſemper
ſuper ſectionem C D; ergo duæ ſectiones B A, & D C ſibi mutuò congruunt, &
ideo æquales ſunt. Non ſecus conuerſum huius propoſitionis demonſtrari poteſt.
ordinatim applicata B E, ſeceturque C F æqualis A E, & ducatur ordinatim
D F. Maniſeſtum eſt, rectangula E A I, & F C N æqualia eße (cum latera
ſint æqualia, ſingula ſingulis); his verò rectangulis æqualia ſunt quadrata or-
1111. lib. 1. dinatim applicatarum B E, D F; ergo & quadrata ſunt æqualia, atque eorum
latera B E, D F æqualia quoque. Si igitur parabolæ ſuperponantur ita, vt
punctum E ſuper F, & diameter A E ſuper C F cadat, neceſſariò punctum A
ſuper C cadet (propter æqualitatem abſcißarum) atque punctum B ſuper punctũ
D incidet (propterea quod anguli E, & F æquales ſunt, pariterque rectæ B E,
& D F ſunt æquales), & quia quodlibet punctum B parabolæ A B cadit ſemper
ſuper ſectionem C D; ergo duæ ſectiones B A, & D C ſibi mutuò congruunt, &
ideo æquales ſunt. Non ſecus conuerſum huius propoſitionis demonſtrari poteſt.
Altera verò pars propoſitionis breuius de-
188[Figure 188]
monſtrabitur hac ratione.
In duabus hyperbo-
lis, aut ellipſibus efficiant ordinatim applicatæ
B E, D F cum diametris A E, & C F angu-
los æquales, & non rectos; ſintque tranſuerſa
latera G A, & H C æqualia, pariterque late-
ra recta A I, & C N æqualia. Dico, ſectiones
B A, C D æquales eſſe. Sumatur quodlibet
punctum B ſectionis B A, ducaturque ad A E
diametrum ordinatim applicata B E, ſecetur-
que C F æqualis abſciſſæ A E, ducaturque F D
ad H C F diametrũ ordinatim applicata. Erit
rectangulum G E A ad quadr atum B E, vt la-
tus tranſuerſum G A ad rectum A I; pariter-
que rectangulum H F C ad quadratum F D
erit, vt H C ad C N: habent vero duæ æqua-
les G A, & H C eandem proportionem ad duas
æquales A I, & C N; igitur rectangulum G E
A ad quadratum B E eandem proportionem ha-
189[Figure 189]
bebit, quàm rectangulum.
H F C ad quadratum D F,
ſunt verò rectangula G E
A, H F C æqualia inter, ſe
(quandoquidem eorum la-
tera A E, C F facta ſunt
æqualia) quæ addita ipſis
A G, & C H æqualibus eſ-
eſſiciunt latera E G, & F
H æqualia; ergo quadrat a
d a um B E, & D F æqua-
lia ſunt inter ſe; & ideo ordinatim applicatæ B E, & D F æquales erunt.
Quare facta, vt prius, intellectuali ſuperpoſitione; nedum veriex A ſuper C,
ſed etiam quodlibet punctum B ſectionis A B ſuper ſectionem C D cadet; ideo-
que ſectiones ſibi mutuò congruent, & æquales erunt.
lis, aut ellipſibus efficiant ordinatim applicatæ
B E, D F cum diametris A E, & C F angu-
los æquales, & non rectos; ſintque tranſuerſa
latera G A, & H C æqualia, pariterque late-
ra recta A I, & C N æqualia. Dico, ſectiones
B A, C D æquales eſſe. Sumatur quodlibet
punctum B ſectionis B A, ducaturque ad A E
diametrum ordinatim applicata B E, ſecetur-
que C F æqualis abſciſſæ A E, ducaturque F D
ad H C F diametrũ ordinatim applicata. Erit
rectangulum G E A ad quadr atum B E, vt la-
tus tranſuerſum G A ad rectum A I; pariter-
que rectangulum H F C ad quadratum F D
erit, vt H C ad C N: habent vero duæ æqua-
les G A, & H C eandem proportionem ad duas
æquales A I, & C N; igitur rectangulum G E
A ad quadratum B E eandem proportionem ha-
H F C ad quadratum D F,
ſunt verò rectangula G E
A, H F C æqualia inter, ſe
(quandoquidem eorum la-
tera A E, C F facta ſunt
æqualia) quæ addita ipſis
A G, & C H æqualibus eſ-
eſſiciunt latera E G, & F
H æqualia; ergo quadrat a
d a um B E, & D F æqua-
lia ſunt inter ſe; & ideo ordinatim applicatæ B E, & D F æquales erunt.
Quare facta, vt prius, intellectuali ſuperpoſitione; nedum veriex A ſuper C,
ſed etiam quodlibet punctum B ſectionis A B ſuper ſectionem C D cadet; ideo-
que ſectiones ſibi mutuò congruent, & æquales erunt.
E conuerſo, ſi ſectiones B A, &
C D æquales ſupponantur, ſibi mutuò