225206LIBRO
quanto e dal g.
all’i, &
ſia quello ſpacio b.
K.
&
dallo i.
al K.
ſi tire una linea ſin al toccamento della linea g d.
&
ſia iui ſegnato l.
&
perche
per la 33. del primo di Euclide la linea a b, e paralella alla linea g i b, & per lo preſuppoſto noſtro le linee g i, & b K. ſono eguali, ne ſegue an-
cho, che la linea b g. ſia paralella alla linea i l. Oltra di queſto delle linee g c, & h e. ſi leuino due parti eguali alla parte i l. & ſiano qutlle g m.
& h n. & ſiano congiunte inſieme i m. & m n. per la allegata propoſitione paralelle ſeranno g l, & m i, & ſimilmente g h, & m n. Tagli an-
cho la linea m n. la a d nel punto o, & della linea b K. ſia pre ſo tanto quanto è la m @. & ſia quella parte b p, & dal punto o uer ſo il punto p.
ſia tirata una linea, fin che ella tocchi la linea i m. nel punto q. ſe adunque la linea m ſera eguale alla o q. egli ſtara bene. Ma ſe la m c. ſer a
minore ne ſegue che la b g, ſera ſtata pr eſa, maggiore di quello, che biſognaua, e pero da capo ſi deue tornare, e tanto eſperimentare, che la
parte o q, ſia eguale alla m c. Sia adunque m c eguale alla o q. ne ſeguir à per la allegata propoſitione 23. del primo, & per lo preſuppoſto
noſtro che la c o, & la m q. ſiano paralelle, & ſinalmente (come detto hauemo) nella prima dimoſtratione a b. g i. m o d c. ſi chiameràno le pri
me paralelle, & a g. m i. c o. le ſeconde. Dico adunque che, g i, & m o, ſono le due di mezzo proportionali, tra la a b, & c d. Fac ciaſi adun
1110 que. che la a d. & la a b. concorrino nel puntor. ne ſeguira quello, che ancho di ſopra detto hauemo per la ſimiglianza de i triangoli ſecondo
la preallegata propoſitione di Euclide, che nelle prime par alelle, che ſi come è proportionata la a r alla r i. coſi ſera la b r alla r g. & nelle ſe-
conde paralelle quello riſpetto di comparatione che hauera la ar alla r i coſi ſara la g r. all’a r m. & ſeguitando ancho ſi come nelle prune ſi
hauera la g r. alla r m. coſi la i r alla r o, & nelle ſeconde ſi come ſi hauera la i r alla r o. coſi la m r. alla r c. Ne ſegue adunque, che la b r.
r g. m r. m c. ſiano in continua proportione, & ſotto la isteſſa ragione per la quarta del ſeſto ſeranno come la a b, alla g i. la g i. alla m o, et la
m o. alla c d. propoſte adunque due linee dritte a b, & c d. tra quelle trouato ne hauemo due continue proportionali, che ſono ſtate la g i, &
la m o. ilche fare uoleuamo. Et con ſimili ragioni potremo ritrouarne quante ci ſera in piacere. Et pero per trouarne due di mczzo pro-
portionali la b f. ſer a un terzo della b o. parche la b g. è alquanto piu del terzo della b c. & non mai minore, ne eguale alla b f. & per ti ouar
ne tre di mezzo proportionali la b f. ſera un quarto della b c. et la b g. alquãto maggiore della b f. & per trouarne quattro la b f. ſera un qu n
to della b c. & la b g. ſera alquanto maggiore della b f. cioe un qumio di eſſa b c. & coſi ſempre la b c. ſera partita in una parte di piu di quel,
2220 che ſono le linee mezzane proportionali, che trouar uorremo, & ſempre lab f. ſer a una di quelle parti, & la b g. alquanto magg ore ſi pren
dera che la b f. et però la parte b f. ſi piglia, che tante ſiate à punto ſia della b c. accioche la grandezza della b f. ſi poſſa coniettur are piu preſto.
112[Figure 112]a b n e k p b l i q o d f g w c rper la 33. del primo di Euclide la linea a b, e paralella alla linea g i b, & per lo preſuppoſto noſtro le linee g i, & b K. ſono eguali, ne ſegue an-
cho, che la linea b g. ſia paralella alla linea i l. Oltra di queſto delle linee g c, & h e. ſi leuino due parti eguali alla parte i l. & ſiano qutlle g m.
& h n. & ſiano congiunte inſieme i m. & m n. per la allegata propoſitione paralelle ſeranno g l, & m i, & ſimilmente g h, & m n. Tagli an-
cho la linea m n. la a d nel punto o, & della linea b K. ſia pre ſo tanto quanto è la m @. & ſia quella parte b p, & dal punto o uer ſo il punto p.
ſia tirata una linea, fin che ella tocchi la linea i m. nel punto q. ſe adunque la linea m ſera eguale alla o q. egli ſtara bene. Ma ſe la m c. ſer a
minore ne ſegue che la b g, ſera ſtata pr eſa, maggiore di quello, che biſognaua, e pero da capo ſi deue tornare, e tanto eſperimentare, che la
parte o q, ſia eguale alla m c. Sia adunque m c eguale alla o q. ne ſeguir à per la allegata propoſitione 23. del primo, & per lo preſuppoſto
noſtro che la c o, & la m q. ſiano paralelle, & ſinalmente (come detto hauemo) nella prima dimoſtratione a b. g i. m o d c. ſi chiameràno le pri
me paralelle, & a g. m i. c o. le ſeconde. Dico adunque che, g i, & m o, ſono le due di mezzo proportionali, tra la a b, & c d. Fac ciaſi adun
1110 que. che la a d. & la a b. concorrino nel puntor. ne ſeguira quello, che ancho di ſopra detto hauemo per la ſimiglianza de i triangoli ſecondo
la preallegata propoſitione di Euclide, che nelle prime par alelle, che ſi come è proportionata la a r alla r i. coſi ſera la b r alla r g. & nelle ſe-
conde paralelle quello riſpetto di comparatione che hauera la ar alla r i coſi ſara la g r. all’a r m. & ſeguitando ancho ſi come nelle prune ſi
hauera la g r. alla r m. coſi la i r alla r o, & nelle ſeconde ſi come ſi hauera la i r alla r o. coſi la m r. alla r c. Ne ſegue adunque, che la b r.
r g. m r. m c. ſiano in continua proportione, & ſotto la isteſſa ragione per la quarta del ſeſto ſeranno come la a b, alla g i. la g i. alla m o, et la
m o. alla c d. propoſte adunque due linee dritte a b, & c d. tra quelle trouato ne hauemo due continue proportionali, che ſono ſtate la g i, &
la m o. ilche fare uoleuamo. Et con ſimili ragioni potremo ritrouarne quante ci ſera in piacere. Et pero per trouarne due di mczzo pro-
portionali la b f. ſer a un terzo della b o. parche la b g. è alquanto piu del terzo della b c. & non mai minore, ne eguale alla b f. & per ti ouar
ne tre di mezzo proportionali la b f. ſera un quarto della b c. et la b g. alquãto maggiore della b f. & per trouarne quattro la b f. ſera un qu n
to della b c. & la b g. ſera alquanto maggiore della b f. cioe un qumio di eſſa b c. & coſi ſempre la b c. ſera partita in una parte di piu di quel,
2220 che ſono le linee mezzane proportionali, che trouar uorremo, & ſempre lab f. ſer a una di quelle parti, & la b g. alquanto magg ore ſi pren
dera che la b f. et però la parte b f. ſi piglia, che tante ſiate à punto ſia della b c. accioche la grandezza della b f. ſi poſſa coniettur are piu preſto.
Quanto appartiene ad Archita dico la inuentione eſſer difficile, &
la dimoſtra
tione molto ſottile in modo, che à porla in opera, non ſi troua instrumen-
to alcuno ſatto ſecondo quella dimostratione. Noi con quella facilità, che
ſi può dimoſtreremo tal coſa, i ſond onenti dellaquale ſono diſperſi in molte
propoſitioni di Euclide, lequali é neceſſario hauerle per certe perche trop
po ſarebbe il ſcioglier ogni anello de ſi gran catena. Date ci ſian due linee
a d. maggiore, l’altra ſia c. Tra queste biſogna trouarne due di mezzo
3330 proportionali. Prendiamo adunque la maggiore a d. d’intorno laquale ſi
faccia un circolo di modo, che la ne diuenti il diametro di eſſa, & ſia il det-
to circolo a b d f. nel qual circolo per la prima delterzo di Euclide ſi fara
una linea eguale alla linea c. & ſi quella a b. laquale tanto ſi stenda oltra il
circolo, che tocchi il punto p. ilquale ſia lo eſtremo d’una linea, & tocchi
il circolo nel punto d. & ſcende fin al punto o, & ſia tutta p d o, & à que
sta ne ſia tratta una egualmente diſtante, che tagli la linea a d. nel punto e. intendiſi poi una metà di colonna ritonda, che ſemicilindro ſi chia-
ma, dritto ſopra il ſemicircolo a b d. & oltra di queſto imaguiamoci nel taglio equidistante, che paralellogrammo è, detto del ſemcilindro ſo-
pra a d. diſſegnato un ſemicircolo ilquale è come un par alellogrammo del ſemicilindro ad anguli giuſti nel piano del circolo A b d f. Queſto ſe
micircolo girato dal punto d nel punto b, stando fermo il punto a, che è termine del Diametro a d. nel ſuo girare tagliera quella ſoperficie co-
4440 lonnare, ò cilindrica, & deſcriuera in eſſa una certa linea, dapoi ſe ſtando ſerma la a d. il triangolo a p d gir ando ſi fara un mouimento contra
rio al ſemicircolo ſenza dubbio eg’i deſcriuera una ſoperficie conica della linea dritta a p. laquale nel girarſi ſi congiugne in qualche punto di
quella linea, che poco auanti ſu deſcritta mediante il mouimento del ſemicircolo nella ſoperficie del cilindro. Similmente ancho il b. circonſcri-
uera un ſemicircolo nella ſoperficie del cono. Et finalmenie il ſemicircolo a d e. habbia il ſuo ſito dapoi che ſera moſſo la doue le linee caden-
do concorrono, & il triangolo che al contrario ſi moua, habbia queſto ſito d l a. & il punto doue concadono ſia K. ſia ancho per b. deſcritto
un ſemicircolo b m f. & la doue ſi taglia col circolo b d f a. ſia b f. indi da punto K. à quel piano, che è del ſemicircolo b d a. cada una perpen-
dicolare, certo è che cadera nella cir conferenza del circolo, perche nel piano dello iſteßo circolo fu drizzato il cilindro. Cada adnnque,
& ſia K i & quella linea, che uiene dallo i. nello a congiunta ſia con b f. nel punto h. Ma perche luno, & l’altro ſimicircolo cioe il d a, & il
b m f. è drizzato ſopra il ſottopoſto piano del circolo a b d f. & pero il lor taglio commune m h. sta con anguli giuſti ſopra il piano del circo
lo a b d f. perilche ancho ſopra eſſa b f. è drizzata la m h. A dunque cio che è contenuto ſotto la b h f. & lo h f. & ſotto lo h a, & lo h i ſi tro-
5550 ua eguale à quello che è ſotto la h m. Adunque lo angulo a m i, è giuſto, per la conuerſione del corolario della ottaua del ſesto. & il triangolo
a m i, ſi troua ſimile all’uno, & all’altro de i due trianguli m a h. & a K d. & perche lo angulo d K a. è giusto per la trenteſima del trenteſimo.
113[Figure 113]c p l k b m i o b a e d f o A dunque per la uinteſimanona del primo d K m, ſono egualmente distanti, impe-
roche per le coſe dimoſtrate h i m h. ſono perpendicolari al piano del circolo a b d
f. A dunque egli è proportionale, che come ſi ha d a. ad a K coſi ſi habbia K a. ad a i.
& i a ad a m. percioche i triangoli d a K. K a i. i m a. ſono ſimili per la quarta del
ſeſto, & coſi ſeguita che quattro dritte linee d a. a K. a i. a m ſiano continue propor
tionali, ma la a m. ſi troua eguale alla c, & per la commune ſententia, quelle coſe
che ſono eguale ad una, ſono tra ſe eguali, perche la a m ſi troua eguale alla a b.
A dunque proposte due linee ad. c. ne hauemo trouate due di mezzo proportiona-
6660 li, che ſono a K. a i. come doueuamo fare. Platone ſimilmente ne fece, & la dimo
ſtratione, & lo inſlrumento, come qui ſotto poneremo. Lega le due dritte linee,
tra lequali uuoi trouarne due proportionali, legale dico in un angulo dritto nel purt
to b. & ſia la maggiore b g. & la minore e b. allonga poi l’una, & l’altra fuori del
l’angulo b. la maggiore uerſo il d. & la minore uerſo il c, & fa due anguli dritti
trouando il punto c, & il punto d. nelle loro linee conueniente, & ſia l’uno angulo
g c d. & l’altro c d e. ſi dico, che tra le due linee dritte e b. & b g. proportionato ha
uerai due altre linee, che ſono b d. & b c. perche preſuppoſto hauemo lo angulo e d
c. eſſer dritto, & la e d. eſſer par alella alla c g. pero ne ſegue per la 29 del primo,
che lo angulo g c d. ſia giuſto, & eguale allo angulo c d e. ilquale ſimilmente eſſer
7770 giuſto preſupponemo, ma la d b per lo nostro componimento cade porpendicolare
ſopra la g b d. adunqae per lo corolario della ottaua del ſesto la b d. è quella linea
proportionata, che cade tra la e b, & la b c. & ſunilmente la linea b c, è la mezza
na proportionale tra la b d. & la b g. poſta adunque la ragione, & la proportione
commune della linea b d alla linea b c. ne ſeguita che la e b h iuera quello r ſpet o di
comparatione alla linea b d. che hauer a la c b. alla linea b c. percioche l’una, et
tione molto ſottile in modo, che à porla in opera, non ſi troua instrumen-
to alcuno ſatto ſecondo quella dimostratione. Noi con quella facilità, che
ſi può dimoſtreremo tal coſa, i ſond onenti dellaquale ſono diſperſi in molte
propoſitioni di Euclide, lequali é neceſſario hauerle per certe perche trop
po ſarebbe il ſcioglier ogni anello de ſi gran catena. Date ci ſian due linee
a d. maggiore, l’altra ſia c. Tra queste biſogna trouarne due di mezzo
3330 proportionali. Prendiamo adunque la maggiore a d. d’intorno laquale ſi
faccia un circolo di modo, che la ne diuenti il diametro di eſſa, & ſia il det-
to circolo a b d f. nel qual circolo per la prima delterzo di Euclide ſi fara
una linea eguale alla linea c. & ſi quella a b. laquale tanto ſi stenda oltra il
circolo, che tocchi il punto p. ilquale ſia lo eſtremo d’una linea, & tocchi
il circolo nel punto d. & ſcende fin al punto o, & ſia tutta p d o, & à que
sta ne ſia tratta una egualmente diſtante, che tagli la linea a d. nel punto e. intendiſi poi una metà di colonna ritonda, che ſemicilindro ſi chia-
ma, dritto ſopra il ſemicircolo a b d. & oltra di queſto imaguiamoci nel taglio equidistante, che paralellogrammo è, detto del ſemcilindro ſo-
pra a d. diſſegnato un ſemicircolo ilquale è come un par alellogrammo del ſemicilindro ad anguli giuſti nel piano del circolo A b d f. Queſto ſe
micircolo girato dal punto d nel punto b, stando fermo il punto a, che è termine del Diametro a d. nel ſuo girare tagliera quella ſoperficie co-
4440 lonnare, ò cilindrica, & deſcriuera in eſſa una certa linea, dapoi ſe ſtando ſerma la a d. il triangolo a p d gir ando ſi fara un mouimento contra
rio al ſemicircolo ſenza dubbio eg’i deſcriuera una ſoperficie conica della linea dritta a p. laquale nel girarſi ſi congiugne in qualche punto di
quella linea, che poco auanti ſu deſcritta mediante il mouimento del ſemicircolo nella ſoperficie del cilindro. Similmente ancho il b. circonſcri-
uera un ſemicircolo nella ſoperficie del cono. Et finalmenie il ſemicircolo a d e. habbia il ſuo ſito dapoi che ſera moſſo la doue le linee caden-
do concorrono, & il triangolo che al contrario ſi moua, habbia queſto ſito d l a. & il punto doue concadono ſia K. ſia ancho per b. deſcritto
un ſemicircolo b m f. & la doue ſi taglia col circolo b d f a. ſia b f. indi da punto K. à quel piano, che è del ſemicircolo b d a. cada una perpen-
dicolare, certo è che cadera nella cir conferenza del circolo, perche nel piano dello iſteßo circolo fu drizzato il cilindro. Cada adnnque,
& ſia K i & quella linea, che uiene dallo i. nello a congiunta ſia con b f. nel punto h. Ma perche luno, & l’altro ſimicircolo cioe il d a, & il
b m f. è drizzato ſopra il ſottopoſto piano del circolo a b d f. & pero il lor taglio commune m h. sta con anguli giuſti ſopra il piano del circo
lo a b d f. perilche ancho ſopra eſſa b f. è drizzata la m h. A dunque cio che è contenuto ſotto la b h f. & lo h f. & ſotto lo h a, & lo h i ſi tro-
5550 ua eguale à quello che è ſotto la h m. Adunque lo angulo a m i, è giuſto, per la conuerſione del corolario della ottaua del ſesto. & il triangolo
a m i, ſi troua ſimile all’uno, & all’altro de i due trianguli m a h. & a K d. & perche lo angulo d K a. è giusto per la trenteſima del trenteſimo.
113[Figure 113]c p l k b m i o b a e d f o A dunque per la uinteſimanona del primo d K m, ſono egualmente distanti, impe-
roche per le coſe dimoſtrate h i m h. ſono perpendicolari al piano del circolo a b d
f. A dunque egli è proportionale, che come ſi ha d a. ad a K coſi ſi habbia K a. ad a i.
& i a ad a m. percioche i triangoli d a K. K a i. i m a. ſono ſimili per la quarta del
ſeſto, & coſi ſeguita che quattro dritte linee d a. a K. a i. a m ſiano continue propor
tionali, ma la a m. ſi troua eguale alla c, & per la commune ſententia, quelle coſe
che ſono eguale ad una, ſono tra ſe eguali, perche la a m ſi troua eguale alla a b.
A dunque proposte due linee ad. c. ne hauemo trouate due di mezzo proportiona-
6660 li, che ſono a K. a i. come doueuamo fare. Platone ſimilmente ne fece, & la dimo
ſtratione, & lo inſlrumento, come qui ſotto poneremo. Lega le due dritte linee,
tra lequali uuoi trouarne due proportionali, legale dico in un angulo dritto nel purt
to b. & ſia la maggiore b g. & la minore e b. allonga poi l’una, & l’altra fuori del
l’angulo b. la maggiore uerſo il d. & la minore uerſo il c, & fa due anguli dritti
trouando il punto c, & il punto d. nelle loro linee conueniente, & ſia l’uno angulo
g c d. & l’altro c d e. ſi dico, che tra le due linee dritte e b. & b g. proportionato ha
uerai due altre linee, che ſono b d. & b c. perche preſuppoſto hauemo lo angulo e d
c. eſſer dritto, & la e d. eſſer par alella alla c g. pero ne ſegue per la 29 del primo,
che lo angulo g c d. ſia giuſto, & eguale allo angulo c d e. ilquale ſimilmente eſſer
7770 giuſto preſupponemo, ma la d b per lo nostro componimento cade porpendicolare
ſopra la g b d. adunqae per lo corolario della ottaua del ſesto la b d. è quella linea
proportionata, che cade tra la e b, & la b c. & ſunilmente la linea b c, è la mezza
na proportionale tra la b d. & la b g. poſta adunque la ragione, & la proportione
commune della linea b d alla linea b c. ne ſeguita che la e b h iuera quello r ſpet o di
comparatione alla linea b d. che hauer a la c b. alla linea b c. percioche l’una, et
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