227208LIBRO
nella ſorma iſteſſa la linea di mezzo della regola e f.
nel deſcriuere la linea piegata ſempre taglia la linea a b.
nel punto e.
perilche il punto K,
non puoi mai peruenire alla linea a b. benche ſempre egli s’auuicine ſecondo la prima propieta della linea piegata. Dalle coſe delte ci na-
ſce bella occaſione di ſapere, che data una linea, che da un capo habbia principio, & dall’ altro uada in infinito, & che fuori di eſſa ſia dato un’an
gulo egli ſi puo tirare una linea dritta, laqual taglie due dritte linee circa lo iſteſſo angulo, & una parte di quella linea dritta compreſa dalle
due che contengono l’angulo ſia eguali ad una linea prima proposta, Ilche in que ſto modo ſi dimoſtra. Sia una linea dritta a b che dalla parte
del b ſiainfinita, & ſopra eſſa formato ſia un’angulo proposto, che ſia b a g. & il punto dato oltra la a b. ſia c. & la dritta linea data ſia d. &
dal punto c. alla linea a b. ſia tirata una perpendicolare c e. à cui per dritto ſi eggiugna la e f. eguale alla d. & con lo ſtrumento ſopradetto dal
Polo c. & interuallo e f. alla regola a b. ſia dcſcritto la prima linea piegata fg. adunque per la ſeconda propieta la linea a g allongata concorre-
ra nella linea piegata f g. cadera adunque in g. & la c g. tirata in longo tagliera la a b nel punto h. dico che la g h. ſera eguale alla d. gia propo-
ſta linea. ilche ci ſara manifeſto, percioche per la diſſinitione della prima piegata linea la g h. ſi troua eguale alla e f. & noi preſuppoſto haue-
1110 mo la e f. eſſer eguale alla d. Adunque per lo commune cõcetto la linea g h. ſer à eguale alla propoſta linea d.
non puoi mai peruenire alla linea a b. benche ſempre egli s’auuicine ſecondo la prima propieta della linea piegata. Dalle coſe delte ci na-
ſce bella occaſione di ſapere, che data una linea, che da un capo habbia principio, & dall’ altro uada in infinito, & che fuori di eſſa ſia dato un’an
gulo egli ſi puo tirare una linea dritta, laqual taglie due dritte linee circa lo iſteſſo angulo, & una parte di quella linea dritta compreſa dalle
due che contengono l’angulo ſia eguali ad una linea prima proposta, Ilche in que ſto modo ſi dimoſtra. Sia una linea dritta a b che dalla parte
del b ſiainfinita, & ſopra eſſa formato ſia un’angulo proposto, che ſia b a g. & il punto dato oltra la a b. ſia c. & la dritta linea data ſia d. &
dal punto c. alla linea a b. ſia tirata una perpendicolare c e. à cui per dritto ſi eggiugna la e f. eguale alla d. & con lo ſtrumento ſopradetto dal
Polo c. & interuallo e f. alla regola a b. ſia dcſcritto la prima linea piegata fg. adunque per la ſeconda propieta la linea a g allongata concorre-
ra nella linea piegata f g. cadera adunque in g. & la c g. tirata in longo tagliera la a b nel punto h. dico che la g h. ſera eguale alla d. gia propo-
ſta linea. ilche ci ſara manifeſto, percioche per la diſſinitione della prima piegata linea la g h. ſi troua eguale alla e f. & noi preſuppoſto haue-
1110 mo la e f. eſſer eguale alla d. Adunque per lo commune cõcetto la linea g h. ſer à eguale alla propoſta linea d.
Trouiamo adunque ſecondo queſta intentione di Nicomede à due propoſte due di mezzo pro-
117[Figure 117]l h c e k a f g i b portionali. Siano le propoſte linee a b. b. c. con angulo dritto legate noſtra intentione è tro
uarne due di mezzo proportionali di continua proportione. Fimſcaſi adunque la figura
quadrangulare a b c d. & ſia partita la c d. in e. & la d a. in ſ. & la linea, cha lega la b e, ſia
prolongata, & concorra con la linea a d. prolongata fin al g. & ſia à guſti anguli la linea
ſh ſopra la ad, et ſanto ſi allonghi la linea a h che la ſia eguale alla linea e c. & congiunti ſia
no i punti g h. con una linea, allaquale paralella ſia la linea a i. di modo, che lo angulo K ai
ſia eguale allo angulo f g h. finalmente per lo precedente problema, ſia tirata una linea, che
tagli la a i, nel punto i, & la d a nella parte a. prodotta ſopra K. di modo, che la i K. eguale
2220 ſia alla a b, & la coliegata K b. ſia prolõgata, è cada nella d c, prolongata al punto l. Io dico
che egli adiuiene, che ſi come ſi ha la a b alla a K, coſi la a K. alla d l, & la l c, alla c b. percio
che la linea a d in due parti è partita nel punto e, & à questa ſi aggiugne la parte K a. Adun
que per la ſeſta del uigeſimo quello che è ſotto d K a. con quello, che uiene dalla a f, ſi troua
eguale, à quello, che ſi fa dalla f. K. Appongaſi commune quello, che ſi fa della f h. A dunque
cioche è ſotto la d K a, con quelle figure quadrangulari che ſi fanno delle a f, f h, cioe con
quello, che ſi fa della a g, ſi troua eguale à quelle, che ſi fanno della K f, & f h, cioe à quello,
che ſi fa della K h. Et perche come ſi ha la l c, alla c. d. & coſi la a l b, alla b K, ma come ſi
ha la l b, alla b K coſi ſi ha la d’a, allo a K ma la c e ſi truoua eſſer la metà della c d, & la a g
doppia alla d a, imperoche per la quarta del ſeſto ſi come ſi ha la a b, alla d e, coſi ſi ha la g a,
3330 alla a d, & ſecondo il preſupposto noſtro la b a, era doppia della d e. Adunque la g a. ſer à
doppia alla a d. Ne ſeguita adunque che quella proportione, che hauer a la l c, con la c e, hauera ancho la g a, alla a K. ſecondo la eguale è muta
ta proportione per la uigeſimaterza del quinto. Ma ſi come la g a alla a K, coſi a h i alla i K, per la ſeconda del ſeſto percioche ſecondo il
preſupposto noſtro la g h, & la a i ſono paralelle. Et componendo queſte proportione per la decimaottaua del quinto, A dunque ſi come la l c,
alla c e, coſi ſi ha la h K alla K i, ma noi posto hauemo la i K, eguale alla c e, perche la i K è eguale alla a h. ancho La a h. é eguale alla c e, Ad n
que la e l, è eguale alla b K. Adunque, & quello, che ſi fa di l e, è eguale à quello, che ſi fa di h K, & quello, che ſi fa di l e, è eguale à quello,
che ſi fa ſotto d l c, con quello, che ſi fa di c e. per la ſeſta del ſecondo. Et à quello, che ſi fa ſotto di h K, ſi ha dimoſtrato eſſer eguale quello, che
ſi fa ſotto a K a, con quello, che ſi ſa di a h. de i quali quello, che ſi fa di c e. è eguale à quello, che ſi fa di a h. imperoche la a h, è stata poſta
eguale alla c e. Ma per la commune ſententia, ſe dalle coſe eguali ſi leueranno le coſe eguali, quelle che reſtano, ſono eguali. A dunque quel-
lo, che ſi fa ſotto d l c, è eguale à quello, che, ſi fa ſotto d K. a. Ma per la decimaquarta del ſeſto i lati di paralello grammi eguali, & equian-
4440 guli ſi hanno à uicenda in proportione uno con l’altro. A dunque come ſi ha la l d. alla d K, coſi ancho la K a, alla c l. ma come è la d l. alla
d, K & a b alla a K, & la l c. alla c b. Et adunque ſi come la a b. alla a K, & la a K alla c l, & la l c, alla c b. A dunque date due linee dritte a b,
& b c, ſi ſono trouate due di mezzo in continua proportione a K, & l c. Altri modi ci ſono de gli antichi di trouare le due proportionali. di
Philopone, di Dione Bizantio di Diode, Di Pappo nelle Mecaniche, Di Poro, di Menecbmo, i quali modi ne i Commentari di Archimede ſi
trouano, & il Vernero dottamente gli eſpone. Ma noi ueniremo al modo di raddoppiare, & di moltiplicare i corpi accioche l’uſo di coſi belle
dimoſtrationi, & di tanti ſtrumenti ci ſia manifeſto.
117[Figure 117]l h c e k a f g i b portionali. Siano le propoſte linee a b. b. c. con angulo dritto legate noſtra intentione è tro
uarne due di mezzo proportionali di continua proportione. Fimſcaſi adunque la figura
quadrangulare a b c d. & ſia partita la c d. in e. & la d a. in ſ. & la linea, cha lega la b e, ſia
prolongata, & concorra con la linea a d. prolongata fin al g. & ſia à guſti anguli la linea
ſh ſopra la ad, et ſanto ſi allonghi la linea a h che la ſia eguale alla linea e c. & congiunti ſia
no i punti g h. con una linea, allaquale paralella ſia la linea a i. di modo, che lo angulo K ai
ſia eguale allo angulo f g h. finalmente per lo precedente problema, ſia tirata una linea, che
tagli la a i, nel punto i, & la d a nella parte a. prodotta ſopra K. di modo, che la i K. eguale
2220 ſia alla a b, & la coliegata K b. ſia prolõgata, è cada nella d c, prolongata al punto l. Io dico
che egli adiuiene, che ſi come ſi ha la a b alla a K, coſi la a K. alla d l, & la l c, alla c b. percio
che la linea a d in due parti è partita nel punto e, & à questa ſi aggiugne la parte K a. Adun
que per la ſeſta del uigeſimo quello che è ſotto d K a. con quello, che uiene dalla a f, ſi troua
eguale, à quello, che ſi fa dalla f. K. Appongaſi commune quello, che ſi fa della f h. A dunque
cioche è ſotto la d K a, con quelle figure quadrangulari che ſi fanno delle a f, f h, cioe con
quello, che ſi fa della a g, ſi troua eguale à quelle, che ſi fanno della K f, & f h, cioe à quello,
che ſi fa della K h. Et perche come ſi ha la l c, alla c. d. & coſi la a l b, alla b K, ma come ſi
ha la l b, alla b K coſi ſi ha la d’a, allo a K ma la c e ſi truoua eſſer la metà della c d, & la a g
doppia alla d a, imperoche per la quarta del ſeſto ſi come ſi ha la a b, alla d e, coſi ſi ha la g a,
3330 alla a d, & ſecondo il preſupposto noſtro la b a, era doppia della d e. Adunque la g a. ſer à
doppia alla a d. Ne ſeguita adunque che quella proportione, che hauer a la l c, con la c e, hauera ancho la g a, alla a K. ſecondo la eguale è muta
ta proportione per la uigeſimaterza del quinto. Ma ſi come la g a alla a K, coſi a h i alla i K, per la ſeconda del ſeſto percioche ſecondo il
preſupposto noſtro la g h, & la a i ſono paralelle. Et componendo queſte proportione per la decimaottaua del quinto, A dunque ſi come la l c,
alla c e, coſi ſi ha la h K alla K i, ma noi posto hauemo la i K, eguale alla c e, perche la i K è eguale alla a h. ancho La a h. é eguale alla c e, Ad n
que la e l, è eguale alla b K. Adunque, & quello, che ſi fa di l e, è eguale à quello, che ſi fa di h K, & quello, che ſi fa di l e, è eguale à quello,
che ſi fa ſotto d l c, con quello, che ſi fa di c e. per la ſeſta del ſecondo. Et à quello, che ſi fa ſotto di h K, ſi ha dimoſtrato eſſer eguale quello, che
ſi fa ſotto a K a, con quello, che ſi ſa di a h. de i quali quello, che ſi fa di c e. è eguale à quello, che ſi fa di a h. imperoche la a h, è stata poſta
eguale alla c e. Ma per la commune ſententia, ſe dalle coſe eguali ſi leueranno le coſe eguali, quelle che reſtano, ſono eguali. A dunque quel-
lo, che ſi fa ſotto d l c, è eguale à quello, che, ſi fa ſotto d K. a. Ma per la decimaquarta del ſeſto i lati di paralello grammi eguali, & equian-
4440 guli ſi hanno à uicenda in proportione uno con l’altro. A dunque come ſi ha la l d. alla d K, coſi ancho la K a, alla c l. ma come è la d l. alla
d, K & a b alla a K, & la l c. alla c b. Et adunque ſi come la a b. alla a K, & la a K alla c l, & la l c, alla c b. A dunque date due linee dritte a b,
& b c, ſi ſono trouate due di mezzo in continua proportione a K, & l c. Altri modi ci ſono de gli antichi di trouare le due proportionali. di
Philopone, di Dione Bizantio di Diode, Di Pappo nelle Mecaniche, Di Poro, di Menecbmo, i quali modi ne i Commentari di Archimede ſi
trouano, & il Vernero dottamente gli eſpone. Ma noi ueniremo al modo di raddoppiare, & di moltiplicare i corpi accioche l’uſo di coſi belle
dimoſtrationi, & di tanti ſtrumenti ci ſia manifeſto.
Io uoglio adunque ad un proposto ſodo ſotto una data proportione farne un’altro.
Sia adunque il ſodo pro-
118[Figure 118]a e b c d f g b a c e d b c d e f g h poſto a. Io uoglio farne uno, che habbia quella proportione con eſſo che ha la linea b. alla linea c, prendaſi
una linea eguale, ad uno de i lati del propoſto ſodo, & ſia quella d, & come ſi ha b alla c, con la iſteſſa ragio
ne ſi riferiſca la d alla e, ſia doppia tripla, ò come ſi uoglia. Et ſecondo alcuna delle precedenti dimoſtratio
5550 ni tra la d, & la e, dritte trouinſi due di mezzo in continua proportione, & ſian quelle f g, di modo, che d f.
& g e, ſiano in continua proportione dapoi da alcuna dritta linea eguale alla ſper la uigeſima ſettima del-
l’undecimo ſi faccia un ſodo, & quello ſia h. ſimile, & ſimilmente poſto, al propoſto ſodo a, & perche per la
trenteſimaterza dello isteſſo libro, ò per lo corolario della iſteſſa, ſe ſeranno quattro linee proportionali, ſi
come la prima alla quarta coſi quel ſodo, che ſi fa della prima à quello che ſi fa della ſeconda ſimile, & ſimil-
66607770 milmente deſcritto’, ne riuſcir a il ſodo. La ragione adunque del ſodo a al ſuo ſimigliante ſodo h, ſi troua in quello riſpetto di comparatione, cha
ſi troua d. all’e, & ſecondo il preſuppoſto la d, all’e, ha quel riſpetto, che da b al c. A dunque al dato ſodo, ſotto la data ragione, che ha b al
118[Figure 118]a e b c d f g b a c e d b c d e f g h poſto a. Io uoglio farne uno, che habbia quella proportione con eſſo che ha la linea b. alla linea c, prendaſi
una linea eguale, ad uno de i lati del propoſto ſodo, & ſia quella d, & come ſi ha b alla c, con la iſteſſa ragio
ne ſi riferiſca la d alla e, ſia doppia tripla, ò come ſi uoglia. Et ſecondo alcuna delle precedenti dimoſtratio
5550 ni tra la d, & la e, dritte trouinſi due di mezzo in continua proportione, & ſian quelle f g, di modo, che d f.
& g e, ſiano in continua proportione dapoi da alcuna dritta linea eguale alla ſper la uigeſima ſettima del-
l’undecimo ſi faccia un ſodo, & quello ſia h. ſimile, & ſimilmente poſto, al propoſto ſodo a, & perche per la
trenteſimaterza dello isteſſo libro, ò per lo corolario della iſteſſa, ſe ſeranno quattro linee proportionali, ſi
come la prima alla quarta coſi quel ſodo, che ſi fa della prima à quello che ſi fa della ſeconda ſimile, & ſimil-
66607770 milmente deſcritto’, ne riuſcir a il ſodo. La ragione adunque del ſodo a al ſuo ſimigliante ſodo h, ſi troua in quello riſpetto di comparatione, cha
ſi troua d. all’e, & ſecondo il preſuppoſto la d, all’e, ha quel riſpetto, che da b al c. A dunque al dato ſodo, ſotto la data ragione, che ha b al