266228Apollonij Pergæi
igitur G A æqualis eſt L D:
&
quia in triangulis ſimilibus rectangulum B A
C ad quadratum B C, ſeu A G ad latus rectum G R eandem proportionem ha-
1111. lib. 1. bet; quàm rectangulum E D F ad quadratum E F, ſeu quàm D L habet ad la-
tus rectum L S; igitur A G ad G R erit vt D L ad L S; ſuntq; A G, D L
oſtenſæ æquales ergo G R, & L S latera recta æqualia ſunt, & diametri ſectio-
num eſſiciunt angulos G O H, L K M æquales; ergo parabolæ H G I, & M L N
22Prop 10.
huius. æquales ſunt inter ſe.
C ad quadratum B C, ſeu A G ad latus rectum G R eandem proportionem ha-
1111. lib. 1. bet; quàm rectangulum E D F ad quadratum E F, ſeu quàm D L habet ad la-
tus rectum L S; igitur A G ad G R erit vt D L ad L S; ſuntq; A G, D L
oſtenſæ æquales ergo G R, & L S latera recta æqualia ſunt, & diametri ſectio-
num eſſiciunt angulos G O H, L K M æquales; ergo parabolæ H G I, & M L N
22Prop 10.
huius. æquales ſunt inter ſe.
In hyperbolis verò, quoniam P G parallela eſt axi A Y, &
A V parallela,
eſt baſi B C, & latera P B, & A C ſunt communia; igitur P V ad V A eſt vt
A Y ad Y B, & G V ad V A eſt vt Y A ad Y C: habet verò eadem A Y ad
æquales Y B, Y C eandem rationem ergò P V, & G V ad eandem V A habent
eandem proportionem, & ideo P V æqualis eſt V G, atq; punctum V erit cen-
trum ſectionis, & quadratum A Y æquale erit quadrato V O (propter paral-
lelogrammum V Y), & quadratum V O æquale eſt rectangulo P O G cum qua-
drato V G; pariterque quadratum C Y æquale eſt rectangulo C O B cum qua
drato O Y, & habet quadratum A Y ad quadratum C Y eandem proportionem,
quàm latus tranſuer ſum P G ad latus rectum G R, ſeu eandem, quàm habet
3321. lib.1. rectangulum P O G ad rectangulum C O B, ergo diuidendo quadratum V G ad
quadratũ O Y eandem proportionem habebit, quàm quadratum A Y ad quadratũ
Y C, ſeu vt P G ad G R, ſeu vt quadratum P G ad rectangulum P G R,
& ideo quadratum duplæ V G, ſeu P G eandem proportionem habebit ad re-
ctangulum P G R, atq; ad quadratum duplæ ipſius Y O; quare quadratum duplæ
ipſius O Y æquale erit figuræ ſectionis ſeu rectangulo P G R. Eodem modo
oſtendetur X centrum hyperbolæ M L N, & quadratum L Z ad quadratum du-
ple K Z eſſe vt quadratum D Z ad quadratum Z F, ſeu vt Z L ad L S, &
ideo quadratum duplæ ipſius K Z æquale erit figuræ ſectionis, ſeu rectangulo Z
L S. Tandem, quia propter ſimilitudinem triangulorum per axes, ſunt anguli
C, F æquales, & anguli Y, Z pariter æquales ( cum ex hypotheſi diametri G O,
L K parallelæ axibus AY, D Z efficiant angulos G O C, L K F æquales); ergo
A Y ad Y C erit vt D Z ad Z F, & earum quadrata etiam proportionalia
erunt; ſed P G ad G R eſt vt quadratum A Y ad quadratum Y C, atque Z
eſt baſi B C, & latera P B, & A C ſunt communia; igitur P V ad V A eſt vt
A Y ad Y B, & G V ad V A eſt vt Y A ad Y C: habet verò eadem A Y ad
æquales Y B, Y C eandem rationem ergò P V, & G V ad eandem V A habent
eandem proportionem, & ideo P V æqualis eſt V G, atq; punctum V erit cen-
trum ſectionis, & quadratum A Y æquale erit quadrato V O (propter paral-
lelogrammum V Y), & quadratum V O æquale eſt rectangulo P O G cum qua-
drato V G; pariterque quadratum C Y æquale eſt rectangulo C O B cum qua
drato O Y, & habet quadratum A Y ad quadratum C Y eandem proportionem,
quàm latus tranſuer ſum P G ad latus rectum G R, ſeu eandem, quàm habet
3321. lib.1. rectangulum P O G ad rectangulum C O B, ergo diuidendo quadratum V G ad
quadratũ O Y eandem proportionem habebit, quàm quadratum A Y ad quadratũ
Y C, ſeu vt P G ad G R, ſeu vt quadratum P G ad rectangulum P G R,
& ideo quadratum duplæ V G, ſeu P G eandem proportionem habebit ad re-
ctangulum P G R, atq; ad quadratum duplæ ipſius Y O; quare quadratum duplæ
ipſius O Y æquale erit figuræ ſectionis ſeu rectangulo P G R. Eodem modo
oſtendetur X centrum hyperbolæ M L N, & quadratum L Z ad quadratum du-
ple K Z eſſe vt quadratum D Z ad quadratum Z F, ſeu vt Z L ad L S, &
ideo quadratum duplæ ipſius K Z æquale erit figuræ ſectionis, ſeu rectangulo Z
L S. Tandem, quia propter ſimilitudinem triangulorum per axes, ſunt anguli
C, F æquales, & anguli Y, Z pariter æquales ( cum ex hypotheſi diametri G O,
L K parallelæ axibus AY, D Z efficiant angulos G O C, L K F æquales); ergo
A Y ad Y C erit vt D Z ad Z F, & earum quadrata etiam proportionalia
erunt; ſed P G ad G R eſt vt quadratum A Y ad quadratum Y C, atque Z