269231Conicor. Lib. VI.
ductionem K E, &
ab E ducatur A E B parallela 1 H, quæ ſecet G H in B:
poſtea producatur H K, vt cumq; in I, & per I ducatur A 1 D parallela E G,
quæ ſecet B G in D; & in plano B X D C, diametris B G, B D, fiant duo
circuli, qui ſint baſes duorum conorum, quorum vertices A, & E, & in eo-
rum ſuperficiebus planum per X I C ductum, efficiat ſectiones C I X, & F K
T. Dico eas eße parabolas quæſitas. Quoniam recta E G facta eſt parallela.
ipſi A D; igitur duo triangula A B D, & E B G per axes conorum ducta ſi-
milia, & ſimiliter poſita in eodem ſunt plano; & duo circuli baſium in eodem
ſunt plano; ergo coni A B D, & E B G ſimiles erunt: poſtea quia triangula.
11Lem. 9.
huius. A B D, & E B G ſimilia ſunt, & I K H communis diameter ſectionum ad
coincidentes baſes C X, F T æque inclinata, & recta linea A E B à verticibus
conorum ducta parallelæ ſunt inter ſe, atque intercipiunt in angulis æqualibus
A B H, & E B H communem portionem B H baſium triangulorum ſimilium.
per axes; ergo parabolæ C I X, & F K T æquales ſunt inter ſe. Secundò, quia
22Prop. 10.
addit. propter parallelas E B, K H ſunt triangula E B G, H K G ſimilia; ergo qua-
dratum B G ad rectangulum B E G ſcilicet latus rectum parabolæ F K T ad K
3311. lib. 1. E eſt, vt quadratum H G ad rectangulum H K G, ſed latus rectum parabolæ
Z ad K E fuit vt qtadratum H G ad rectangulum H K G; igitur duo latera
recta, parabole Z, atq; parabole F K T ad eandem K E habent eandem pro-
portionem, & propterea æqualia ſunt, & diametri, ad baſes æque inclinatæ
ſunt ex conſtructione; igitur parabole F K T, & ei æqualis C I X erit æqua-
44Prop. 10.
huius. lis eidem parabolæ Z. Tertiò quia ſectionum plano, & communi diametro I
K H æquidiſtat cummune lateris A E B, in quo duo coni ſe ſe contingunt; ergo
latus A E B nunquàm occurret plano C I X: ſed duæ ſuperficies conicæ tantum-
modò ſe ſe tangunt in latere A E B, & reliquis omnibus in locis ſeparatæ ſunt;
igitur duæ parabolæ C I X, F K T in illo plano poſitæ per contactum A E B
non tranſeunte, & extenſæ in duabus conicis ſuperficiebus nunquàm conuenien-
tibus, erunt asymptoticæ. Quartò quia duæ parabole C I X, F K T æquales
ſunt, & ſimiliter poſitæ circa communem diametrum I K H; ergo earum di-
55Propof. 7.
addit. ſtantiæ ſemper magis, ac magis diminuuntur quouſque ſint minores qualibet
recta linea data. Quod erat faciendum.
poſtea producatur H K, vt cumq; in I, & per I ducatur A 1 D parallela E G,
quæ ſecet B G in D; & in plano B X D C, diametris B G, B D, fiant duo
circuli, qui ſint baſes duorum conorum, quorum vertices A, & E, & in eo-
rum ſuperficiebus planum per X I C ductum, efficiat ſectiones C I X, & F K
T. Dico eas eße parabolas quæſitas. Quoniam recta E G facta eſt parallela.
ipſi A D; igitur duo triangula A B D, & E B G per axes conorum ducta ſi-
milia, & ſimiliter poſita in eodem ſunt plano; & duo circuli baſium in eodem
ſunt plano; ergo coni A B D, & E B G ſimiles erunt: poſtea quia triangula.
11Lem. 9.
huius. A B D, & E B G ſimilia ſunt, & I K H communis diameter ſectionum ad
coincidentes baſes C X, F T æque inclinata, & recta linea A E B à verticibus
conorum ducta parallelæ ſunt inter ſe, atque intercipiunt in angulis æqualibus
A B H, & E B H communem portionem B H baſium triangulorum ſimilium.
per axes; ergo parabolæ C I X, & F K T æquales ſunt inter ſe. Secundò, quia
22Prop. 10.
addit. propter parallelas E B, K H ſunt triangula E B G, H K G ſimilia; ergo qua-
dratum B G ad rectangulum B E G ſcilicet latus rectum parabolæ F K T ad K
3311. lib. 1. E eſt, vt quadratum H G ad rectangulum H K G, ſed latus rectum parabolæ
Z ad K E fuit vt qtadratum H G ad rectangulum H K G; igitur duo latera
recta, parabole Z, atq; parabole F K T ad eandem K E habent eandem pro-
portionem, & propterea æqualia ſunt, & diametri, ad baſes æque inclinatæ
ſunt ex conſtructione; igitur parabole F K T, & ei æqualis C I X erit æqua-
44Prop. 10.
huius. lis eidem parabolæ Z. Tertiò quia ſectionum plano, & communi diametro I
K H æquidiſtat cummune lateris A E B, in quo duo coni ſe ſe contingunt; ergo
latus A E B nunquàm occurret plano C I X: ſed duæ ſuperficies conicæ tantum-
modò ſe ſe tangunt in latere A E B, & reliquis omnibus in locis ſeparatæ ſunt;
igitur duæ parabolæ C I X, F K T in illo plano poſitæ per contactum A E B
non tranſeunte, & extenſæ in duabus conicis ſuperficiebus nunquàm conuenien-
tibus, erunt asymptoticæ. Quartò quia duæ parabole C I X, F K T æquales
ſunt, & ſimiliter poſitæ circa communem diametrum I K H; ergo earum di-
55Propof. 7.
addit. ſtantiæ ſemper magis, ac magis diminuuntur quouſque ſint minores qualibet
recta linea data. Quod erat faciendum.
Data hyperbola Z duos conos ſimiles exhibere, vt idem planum in,
66PRO 1.
12.
Addit eis efſiciat duas hyperbolas æquales, & ſimiles datæ, quæ aſymptoticæ
ſint, & ſibi ipſis ſemper viciniores fiant, non tamen interuallo minore
recta linea data.
66PRO 1.
12.
Addit eis efſiciat duas hyperbolas æquales, & ſimiles datæ, quæ aſymptoticæ
ſint, & ſibi ipſis ſemper viciniores fiant, non tamen interuallo minore
recta linea data.
In quolibet plano fiat angulus H I M æqualis angulo inclinationis diametri,
& baſis datæ hyperboles Z, & per M I extenſo quolibet alio plano ducatur in
eo B I C perpendicularis ad M I K; & ſumpto quolibet puncto O in recta linea
I H producta, ducatur à puncto O in plano per O I B extenſo recta linea O A
parallela ipſi B I, & ſecetur O A æqualis ſemiſſi potentis figuram ſectionis Z,
cuius rectum latus ad tranſuerſum eandem proportionem habeat quàm quadra-
tum A O ad quadratum O H; atque à puncto A àucatur recta linea A D G
parallela ipſi H I, & coniungatur A H, quæ ſecent rectam lineam G I in pun-
ctis G, & C, & ſectur recta linea G B æqualis G C iungaturq; A B, & à
quolibet puncto D in recta A G ſumpto ducãtur in eodem plano A B C duæ re-
ctæ lineæ D E, & D F @ parallelæ lateribus A B, & A C; eruntque
& baſis datæ hyperboles Z, & per M I extenſo quolibet alio plano ducatur in
eo B I C perpendicularis ad M I K; & ſumpto quolibet puncto O in recta linea
I H producta, ducatur à puncto O in plano per O I B extenſo recta linea O A
parallela ipſi B I, & ſecetur O A æqualis ſemiſſi potentis figuram ſectionis Z,
cuius rectum latus ad tranſuerſum eandem proportionem habeat quàm quadra-
tum A O ad quadratum O H; atque à puncto A àucatur recta linea A D G
parallela ipſi H I, & coniungatur A H, quæ ſecent rectam lineam G I in pun-
ctis G, & C, & ſectur recta linea G B æqualis G C iungaturq; A B, & à
quolibet puncto D in recta A G ſumpto ducãtur in eodem plano A B C duæ re-
ctæ lineæ D E, & D F @ parallelæ lateribus A B, & A C; eruntque