276238Apollonij Pergæi
Vt quadratum A C ad C B in BA,
321[Figure 321]
ita ponatur E G ad B H:
&
educa-
mus H I parallelam B C, & exten-
datur per H I planum eleuatum ſuper
triangulum A B C ad angulos rectos
efficiens in cono ſectionem K H L.
Dico eam æqualem eſſe ſectioni D E.
Quia quadratum A C ad C B in B
A eſt, vt E G ad B H; ergo poten-
tes eductæ ad axim H I in ſectione
11a K H L poſſunt applicata contenta ab
abſciſſis illarum potentium, & ab E
G; quare E G erit erectum ſectionis
K H, & idem etiam eſt erectum ſectionis D E; ergo duo erecta duarum
ſectionum ſunt æqualia, & propterea ſectiones æquales ſunt (1. ex 6.)
mus H I parallelam B C, & exten-
datur per H I planum eleuatum ſuper
triangulum A B C ad angulos rectos
efficiens in cono ſectionem K H L.
Dico eam æqualem eſſe ſectioni D E.
Quia quadratum A C ad C B in B
A eſt, vt E G ad B H; ergo poten-
tes eductæ ad axim H I in ſectione
11a K H L poſſunt applicata contenta ab
abſciſſis illarum potentium, & ab E
G; quare E G erit erectum ſectionis
K H, & idem etiam eſt erectum ſectionis D E; ergo duo erecta duarum
ſectionum ſunt æqualia, & propterea ſectiones æquales ſunt (1. ex 6.)
Et dico, quod in cono A B C reperiri non poteſt ſectio alia parabo-
22b lica, cuius vertex ſit ſuper A B, quæ eidem D E ſit æqualis. Si enim
hoc eſt poſſibile, ſit axis illius ſectionis M N, qui quidem cadet in trian-
gulo A B C; quia conus eſt rectus, & erectum illius ſit M O; atq; M O
ad M B erit, vt G E ad B H; eſtque B H maior, quàm B M; ergo M O
33ex conu.
Prop. 1.
huius. minor eſt, quàm G E; quare ſectio, cuius axis eſt M N non eſt æqualis
ſectioni D E; & tamen ſuppoſita fuit æqualis illi, quod eſt abſurdum.
Quare patet propoſitum.
22b lica, cuius vertex ſit ſuper A B, quæ eidem D E ſit æqualis. Si enim
hoc eſt poſſibile, ſit axis illius ſectionis M N, qui quidem cadet in trian-
gulo A B C; quia conus eſt rectus, & erectum illius ſit M O; atq; M O
ad M B erit, vt G E ad B H; eſtque B H maior, quàm B M; ergo M O
33ex conu.
Prop. 1.
huius. minor eſt, quàm G E; quare ſectio, cuius axis eſt M N non eſt æqualis
ſectioni D E; & tamen ſuppoſita fuit æqualis illi, quod eſt abſurdum.
Quare patet propoſitum.
PROPOSITIO XXVII.
SIt deinde hyperbole A B, cuius axis C D, inclinatus B
44a D, & erectus B E; atque quadratum axis F G dati coni
recti F H I ad quadratum G H ſemidiametri baſis eius, non
habeat maiorem proportionem, quàm habet figura, ſcilicet
quàm habet D B ad B E.
44a D, & erectus B E; atque quadratum axis F G dati coni
recti F H I ad quadratum G H ſemidiametri baſis eius, non
habeat maiorem proportionem, quàm habet figura, ſcilicet
quàm habet D B ad B E.
Sit prius proportio eadem, &
producamus I F ad K;
&
ducamus K
L ſubtendentem angulum H F K, quæ parallela ſit ipſi F G, & æqualis
exiſtat ipſi D B; & per K L planum extendatur eleuatum ad angulos re-
ctos ſuper planum trianguli H F I, quod efficiet in ſuperſicie conica ſe-
ctionem hyperbolicam, cuius axis erit L M, & inclinatus K L. Et quia
F G parallela eſt K L, erit quadratum F G ad G I in G H, vt K L in-
5512. lib. 1. clinatus ad illius erectum, ſiue vt D B ad B E; facta autem fuit K L æ-
qualis D B; ergo erectus inclinati K L æqualis eſt B E; & propterea ſe-
662. huius.77b ctio, cuius axis eſt L M æqualis eſt ſectioni A B. Nec reperiri poterit
in cono H F I alia ſectio hyperbolica, cuius vertex ſit ſuper H F, quæ
æqualis ſit A B; quia, ſi reperiri poſſet eſſet illius axis in plano trianguli
H F I, & eius inclinatus, ſubtendens angulum H F K æqualis eſſet D B,
nec tamen eſſet K L, nequè ipſi æquidiſtans (eo quod, ſi
L ſubtendentem angulum H F K, quæ parallela ſit ipſi F G, & æqualis
exiſtat ipſi D B; & per K L planum extendatur eleuatum ad angulos re-
ctos ſuper planum trianguli H F I, quod efficiet in ſuperſicie conica ſe-
ctionem hyperbolicam, cuius axis erit L M, & inclinatus K L. Et quia
F G parallela eſt K L, erit quadratum F G ad G I in G H, vt K L in-
5512. lib. 1. clinatus ad illius erectum, ſiue vt D B ad B E; facta autem fuit K L æ-
qualis D B; ergo erectus inclinati K L æqualis eſt B E; & propterea ſe-
662. huius.77b ctio, cuius axis eſt L M æqualis eſt ſectioni A B. Nec reperiri poterit
in cono H F I alia ſectio hyperbolica, cuius vertex ſit ſuper H F, quæ
æqualis ſit A B; quia, ſi reperiri poſſet eſſet illius axis in plano trianguli
H F I, & eius inclinatus, ſubtendens angulum H F K æqualis eſſet D B,
nec tamen eſſet K L, nequè ipſi æquidiſtans (eo quod, ſi