286248Apollonij Pergæi
ſed angulus K E G factus fuit etiam eidẽ æqua-
334[Figure 334]
lis;
igitur L K, quod eſt latus trianguli per a-
11b xim coni tranſeuntis, parallelum erit ipſi E G:
& propterea planum, in quo eſt ſectio D E F
22c producit in cono ſectionem parabolicam; &
quia A C ad C B eſt, vt H E ad E K, & vt E
K ad K L; igitur H E ad E L (quæ eſt æqualis
33d ipſi K L) eandem proportionem habet, quàm
quadratum E K ad quadratum K L, nempe ad
K L in L E: quaproptor H E eſt erectus ſectio-
4411. lib. 1. nis prouenientis in cono, ſed eſt etiam erectus
ſectionis D E F; igitur D E F exiſtit in ſuperfi-
cie coni, cuius vertex eſt L, qui ſimilis eſt co-
55Def. 8.
huius. no A B C: eo quod triangulum A B C ſimi-
le eſt triangulo E L K. Dico etiam, quod ſectio D E F contineri non
poteſt ab aliquo alio cono, ſimili cono A B C, cuius vertex ſit ex eadẽ
parte ſectionis præter conum iam exhibitum. Nam (ſi poſſibile eſt) ſit
conus habens verticem M, & triangulum eius erectum ſit ſuper planum
ſectionis D E F, & communis ſectio illius, & coni ſectionis erit axis eius;
eſtque E G illius axis; ergo hæc eſt abſciſſio communis eorundem pla-
norum; ſed eſt E G abſciſſio communis plani ſectionis, & plani trianguli
K E L, ſuper quod eſt etiam erectum; igitur duo triangula E L K, E M
I ſunt in eodem plano, & angulus L æqualis eſt M (propter ſimilitudinẽ
66Def. 8. duorum conorum); ergo E M eſt indirectum ipſi E L, & educta E K ad
77f I ſectio D E F continebitur in cono, cuius vertex eſt M: ſi autem pona-
88Def. 9. mus proportionem lineæ alicuius ad E M, eandem quàm habet quadra-
tum E I ad I M in M E, linea illa eſſet erectus ſectionis D E F; ſed H
9911. lib. 1. E erat erectus ſectionis D E F; igitur H E eſt illa linea, hæc autem ad
E L eandem proportionem habebat, quàm quadratum E K ad K L in
L E; ergo quadratum E K ad K L in L E eandem proportionem habet,
quàm quadratũ E I ad I M in M E; igitur H E ad E M, & ad E L ean-
dem proportionem habet: quod eſt abſurdum. Non ergo in aliquo alio
cono ſectio contineri poteſt, vt diximus. Et hoc erat propoſitum.
11b xim coni tranſeuntis, parallelum erit ipſi E G:
& propterea planum, in quo eſt ſectio D E F
22c producit in cono ſectionem parabolicam; &
quia A C ad C B eſt, vt H E ad E K, & vt E
K ad K L; igitur H E ad E L (quæ eſt æqualis
33d ipſi K L) eandem proportionem habet, quàm
quadratum E K ad quadratum K L, nempe ad
K L in L E: quaproptor H E eſt erectus ſectio-
4411. lib. 1. nis prouenientis in cono, ſed eſt etiam erectus
ſectionis D E F; igitur D E F exiſtit in ſuperfi-
cie coni, cuius vertex eſt L, qui ſimilis eſt co-
55Def. 8.
huius. no A B C: eo quod triangulum A B C ſimi-
le eſt triangulo E L K. Dico etiam, quod ſectio D E F contineri non
poteſt ab aliquo alio cono, ſimili cono A B C, cuius vertex ſit ex eadẽ
parte ſectionis præter conum iam exhibitum. Nam (ſi poſſibile eſt) ſit
conus habens verticem M, & triangulum eius erectum ſit ſuper planum
ſectionis D E F, & communis ſectio illius, & coni ſectionis erit axis eius;
eſtque E G illius axis; ergo hæc eſt abſciſſio communis eorundem pla-
norum; ſed eſt E G abſciſſio communis plani ſectionis, & plani trianguli
K E L, ſuper quod eſt etiam erectum; igitur duo triangula E L K, E M
I ſunt in eodem plano, & angulus L æqualis eſt M (propter ſimilitudinẽ
66Def. 8. duorum conorum); ergo E M eſt indirectum ipſi E L, & educta E K ad
77f I ſectio D E F continebitur in cono, cuius vertex eſt M: ſi autem pona-
88Def. 9. mus proportionem lineæ alicuius ad E M, eandem quàm habet quadra-
tum E I ad I M in M E, linea illa eſſet erectus ſectionis D E F; ſed H
9911. lib. 1. E erat erectus ſectionis D E F; igitur H E eſt illa linea, hæc autem ad
E L eandem proportionem habebat, quàm quadratum E K ad K L in
L E; ergo quadratum E K ad K L in L E eandem proportionem habet,
quàm quadratũ E I ad I M in M E; igitur H E ad E M, & ad E L ean-
dem proportionem habet: quod eſt abſurdum. Non ergo in aliquo alio
cono ſectio contineri poteſt, vt diximus. Et hoc erat propoſitum.
PROPOSITIO XXX.
SI ſectio hyperbolica D E F, cuius axis E G inclinatus E H, &
erectus
1010a E I (oportet autem, vt quadratum axis B Q coni recti ad quadratũ ſe-
midiametri baſis illius A Q non maiorẽ proportionẽ habeat, quàm habent fi-
guræ latera). Et habeat prius eandem proportionẽ, quàm H E ad E I, &
producamus A B ad M, & ſuper H E in plano erecto ad ſectionẽ D E F
deſcribamus ſegmentũ circuli E L H, quod capiat angulum æqualem an-
gulo M B C, & bifariam ſecemus arcum E O H in O, & educamus per-
pendicularem O N ſuper H E; & producamus illam, quouſque
1010a E I (oportet autem, vt quadratum axis B Q coni recti ad quadratũ ſe-
midiametri baſis illius A Q non maiorẽ proportionẽ habeat, quàm habent fi-
guræ latera). Et habeat prius eandem proportionẽ, quàm H E ad E I, &
producamus A B ad M, & ſuper H E in plano erecto ad ſectionẽ D E F
deſcribamus ſegmentũ circuli E L H, quod capiat angulum æqualem an-
gulo M B C, & bifariam ſecemus arcum E O H in O, & educamus per-
pendicularem O N ſuper H E; & producamus illam, quouſque