295257Conicor. Lib. VI.
rectangulum O V R ad quadratum V R, vt H E ad E I:
eſt verò rectangulum
H V E æquale rectangulo O V R (propterea quod duæ rect æ line æ O R, H E ſe ſe ſe-
cant intra circulum in V) igitur rectangulum H V E ad quadratum V R eandẽ
proportionẽ habet quàm H E ad E I; cumq; proportio rectanguli H V E ad qua.
dratum V R compoſita ſit ex duabus rationibus, ipſius E V ad V R, ſeu R S ad
S E, (propter parallelogrammum V E S R), & ex proportione H V ad V R,
quæ eadem eſt proportioni ipſius R S ad S T (propterea quod triangula H V R,
& R S T ſimilia conſtituuntur ab æquidiſtantibus H V, R S, & V R, S T)
quapropter duæ proportiones R S ad S E, & R S ad S T componentes proportio-
nem quadrati R S ad rectangulum E S T eædem ſunt rationibus, ex quibus
componitur proportio rectanguli H V E ad quadratum V R; & ideo quadratum
R S ad rectangulum E S T eandem proportionem habebit, quàm rectangulum
H V E ad quadratum V R, ſeu eandem quàm habet H E ad E I; igitur ſi fiat
conus, cuius vertex R, & baſis circulus diametro E T, cuius planum perpen-
diculare ſit ad planum trianguli E R T, erit triangulum E R T iſoſcelium per
axim prædicti coni extenſum, atq; ad ipſum ſectionis D E F planum eſt quo-
que perpendiculare, & eius axis G E ſubtendit angulum E R H, qui deinceps
eſt angulo verticis; igitur planum D E F in cono E R T generat hyperbolen,
cuius axis inclinatus eſt E H, & erectus E I: & propterea conus E R T com-
prehendit hyperbolen D E F. Rurſus ſi recta R X producatur quouſque ſecet
peripheriam circuli L E ex altera parte in puncto Y; atque denuò coniungantur
rectæ lineæ E Y, & H Y, quæ extendatur quouſquè conueniat cum recta linea
ex puncto E parallela ipſi O Y in puncto aliquo, quod concipiatur eſſe d; fieri
poterit alius conus (cuius vertex Y, baſis circulus diametro E d erectus ad
planum trianguli) ſimilis cono E R T, ſiue A B C: Oſtendetur ſicuti modo di-
ctum eſt, quod idem planum H D F eſſiciet in cono γ d E eandem hyperbolen
D E F.
H V E æquale rectangulo O V R (propterea quod duæ rect æ line æ O R, H E ſe ſe ſe-
cant intra circulum in V) igitur rectangulum H V E ad quadratum V R eandẽ
proportionẽ habet quàm H E ad E I; cumq; proportio rectanguli H V E ad qua.
dratum V R compoſita ſit ex duabus rationibus, ipſius E V ad V R, ſeu R S ad
S E, (propter parallelogrammum V E S R), & ex proportione H V ad V R,
quæ eadem eſt proportioni ipſius R S ad S T (propterea quod triangula H V R,
& R S T ſimilia conſtituuntur ab æquidiſtantibus H V, R S, & V R, S T)
quapropter duæ proportiones R S ad S E, & R S ad S T componentes proportio-
nem quadrati R S ad rectangulum E S T eædem ſunt rationibus, ex quibus
componitur proportio rectanguli H V E ad quadratum V R; & ideo quadratum
R S ad rectangulum E S T eandem proportionem habebit, quàm rectangulum
H V E ad quadratum V R, ſeu eandem quàm habet H E ad E I; igitur ſi fiat
conus, cuius vertex R, & baſis circulus diametro E T, cuius planum perpen-
diculare ſit ad planum trianguli E R T, erit triangulum E R T iſoſcelium per
axim prædicti coni extenſum, atq; ad ipſum ſectionis D E F planum eſt quo-
que perpendiculare, & eius axis G E ſubtendit angulum E R H, qui deinceps
eſt angulo verticis; igitur planum D E F in cono E R T generat hyperbolen,
cuius axis inclinatus eſt E H, & erectus E I: & propterea conus E R T com-
prehendit hyperbolen D E F. Rurſus ſi recta R X producatur quouſque ſecet
peripheriam circuli L E ex altera parte in puncto Y; atque denuò coniungantur
rectæ lineæ E Y, & H Y, quæ extendatur quouſquè conueniat cum recta linea
ex puncto E parallela ipſi O Y in puncto aliquo, quod concipiatur eſſe d; fieri
poterit alius conus (cuius vertex Y, baſis circulus diametro E d erectus ad
planum trianguli) ſimilis cono E R T, ſiue A B C: Oſtendetur ſicuti modo di-
ctum eſt, quod idem planum H D F eſſiciet in cono γ d E eandem hyperbolen
D E F.
Inde demonſtrabitur quod E H ad E I neceſſe eſt, vt habeat eandem
11h proportionem, quàm O e ad e Z: & hoc eſt abſurdum, & c. quia conus
Z E f continet hyperbolen D E F neceſſariò eius axis tranſuerſus E H ſubten-
det angulum H Z E, qui deinceps eſt anguli verticis trianguli per axim; &
propter ſimilitudinẽ conorũ rectorum, ſunt triangula per axes A B C, E R T, &
E Z f ſimilia inter ſe, & anguli verticales B, Z, & R æquales erunt inter ſe;
ideo conſequentes anguli M B C, & H R E, nec non H Z E æquales erunt in-
ter ſe, & ſubtenduntur ab eadem recta linea H E; ergo in eodem circuli ſeg-
mento conſiſtunt: & propterea punctum Z in circuli peripheria H Z E cadit.
Poſtea (vt in propoſitione 53. primi libri, & in hac eadem propoſitione demon-
ſtrauit Apollonius) conſtat quod H E ad E I habet eandem proportionem, quàm
O e ad e Z; & prius O V ad V R erat vt H E ad E I; ergo O V ad V R eã-
dem proportionem habet quàm O e ad e Z; ſed quia punctum Z non cadit in
R, neque in γ alias conus E Z f non eſſet alius à præcedentibus E R T, & E
γ d; ergo O e ad e Z non habet eandem proportionem, quàm O V ad V R, quod
eſt abſurdum.
11h proportionem, quàm O e ad e Z: & hoc eſt abſurdum, & c. quia conus
Z E f continet hyperbolen D E F neceſſariò eius axis tranſuerſus E H ſubten-
det angulum H Z E, qui deinceps eſt anguli verticis trianguli per axim; &
propter ſimilitudinẽ conorũ rectorum, ſunt triangula per axes A B C, E R T, &
E Z f ſimilia inter ſe, & anguli verticales B, Z, & R æquales erunt inter ſe;
ideo conſequentes anguli M B C, & H R E, nec non H Z E æquales erunt in-
ter ſe, & ſubtenduntur ab eadem recta linea H E; ergo in eodem circuli ſeg-
mento conſiſtunt: & propterea punctum Z in circuli peripheria H Z E cadit.
Poſtea (vt in propoſitione 53. primi libri, & in hac eadem propoſitione demon-
ſtrauit Apollonius) conſtat quod H E ad E I habet eandem proportionem, quàm
O e ad e Z; & prius O V ad V R erat vt H E ad E I; ergo O V ad V R eã-
dem proportionem habet quàm O e ad e Z; ſed quia punctum Z non cadit in
R, neque in γ alias conus E Z f non eſſet alius à præcedentibus E R T, & E
γ d; ergo O e ad e Z non habet eandem proportionem, quàm O V ad V R, quod
eſt abſurdum.