304266Apollonij Pergæi
A O (cum C D, &
H B ſint parallelæ, atque D O ſit parallelogrammum) com-
ponunt verò hæ duæ proportiones rationem quadrati C A ad rectangulum F
A O: ergo vt rectangulum A H C ad quadratum H B; ita eſt quadratum C A
ad rectangulum F A O, & pro-
351[Figure 351]
pterea vt X ad A F, ita erit qua-
dratum A C ad rectangulum F A
O, ſed vt F A ad A D (ſum-
ptis æqualibus altitudinibus A O,
C D) ita eſt rectangulum F A O
ad rectangulum A D C; quare ex
æquali X ad A D erit vt quadra-
tum A C ad rectangulum A D C;
tandem vt Z latus rectum para-
boles A M ad D A ita eſt quadra-
11II. lib. I. tum A C ad rectangulum A D C;
igitur X, & Z ad eandem D A
habent eandem proportionem quàm
quadr atum A C ad rectangulum
A D C, & propterea latera recta
X, & Z æqualia ſunt inter ſe.
Et quoniam in quolibet caſu ſectio-
nis conicæ A N latus rectum X
ſemper æquale eſt Z lateri recto
vnius eiuſdemq; paraboles A M;
ergo latera recta X reliquarum
omnium ſectionum æqualia ſunt
inter ſe, licet ſectiones illæ ſint
inæquales, & habeant latera trã-
ſuerſa inæqualia, imò neque eiuſ-
dem ſpeciei ſint. Quod erat pro-
poſitum.
ponunt verò hæ duæ proportiones rationem quadrati C A ad rectangulum F
A O: ergo vt rectangulum A H C ad quadratum H B; ita eſt quadratum C A
ad rectangulum F A O, & pro-
dratum A C ad rectangulum F A
O, ſed vt F A ad A D (ſum-
ptis æqualibus altitudinibus A O,
C D) ita eſt rectangulum F A O
ad rectangulum A D C; quare ex
æquali X ad A D erit vt quadra-
tum A C ad rectangulum A D C;
tandem vt Z latus rectum para-
boles A M ad D A ita eſt quadra-
11II. lib. I. tum A C ad rectangulum A D C;
igitur X, & Z ad eandem D A
habent eandem proportionem quàm
quadr atum A C ad rectangulum
A D C, & propterea latera recta
X, & Z æqualia ſunt inter ſe.
Et quoniam in quolibet caſu ſectio-
nis conicæ A N latus rectum X
ſemper æquale eſt Z lateri recto
vnius eiuſdemq; paraboles A M;
ergo latera recta X reliquarum
omnium ſectionum æqualia ſunt
inter ſe, licet ſectiones illæ ſint
inæquales, & habeant latera trã-
ſuerſa inæqualia, imò neque eiuſ-
dem ſpeciei ſint. Quod erat pro-
poſitum.
Admiratione dignum præcipuè
eſt in hac propoſitione, quod ſi ſe-
ctio A N fuerit circulus, vnicus
tantummodò erit; nam circuli la-
tus rectum X æquale erit eius dia-
metro, ſeu axi tranſuerſo A F; eſt-
que ſemper latus rectum eiuſdem
menſuræ, vt aſtenſum eſt; igitur
circuli diameter F A idem ſemper erit; & propterea circulus, qui à tali plano
generari poteſt ſingularis erit, nimirum ille, qui in vnico cono A B C efficit
triangula per axim ſimilia, & ſubcontraria B A C, & B F A. Manifeſtum
quoq; eſt parabolem A M ſingularem eße, nam ſupponitur idem circulus baſis A
C, & in plano per axim coni cõmune latus A D B ſemper eoſdẽ angulos D A E,
& D A C efficere conceditur; igitur vt ſectio A M ſit parabole neceßariò recta à
puncto C duci debet parallela diametro par aboles A E; cum ergo in triangulo per
axim D A C detur baſis A C inuariabilis quia circulus vnicus ſupponitur
eſt in hac propoſitione, quod ſi ſe-
ctio A N fuerit circulus, vnicus
tantummodò erit; nam circuli la-
tus rectum X æquale erit eius dia-
metro, ſeu axi tranſuerſo A F; eſt-
que ſemper latus rectum eiuſdem
menſuræ, vt aſtenſum eſt; igitur
circuli diameter F A idem ſemper erit; & propterea circulus, qui à tali plano
generari poteſt ſingularis erit, nimirum ille, qui in vnico cono A B C efficit
triangula per axim ſimilia, & ſubcontraria B A C, & B F A. Manifeſtum
quoq; eſt parabolem A M ſingularem eße, nam ſupponitur idem circulus baſis A
C, & in plano per axim coni cõmune latus A D B ſemper eoſdẽ angulos D A E,
& D A C efficere conceditur; igitur vt ſectio A M ſit parabole neceßariò recta à
puncto C duci debet parallela diametro par aboles A E; cum ergo in triangulo per
axim D A C detur baſis A C inuariabilis quia circulus vnicus ſupponitur