6759TERZO.
che la proportione ſoprapartiente, è, quando il piu contiene il meno una fiata, &
piu parti di eſſo, &
queſto è tanto dal numero di eſſe par-
ti, quanto dalla denominatione, & quanto dall’uno, & dall’ altro.
ti, quanto dalla denominatione, & quanto dall’uno, & dall’ altro.
Dal numero delle parti quando il piu contiene il meno una fiata, &
due parti di eſſo dicėſi ſoprabipartiente, ſe tre ſopra tripartiente, &
coſi nel reſto.
coſi nel reſto.
Dalla denominatione clelle parti, quando il piu contiene il meno una fiata, &
le parti di quello che ſono terzi diceſi ſopra partiente le terze.
Dall’uno, & dall’ altro come ſe dicesſi ſoprabipartiente le terze.
Dall’uno, & dall’ altro come ſe dicesſi ſoprabipartiente le terze.
Dico adunque che ſecondo la prima denominatione, che efprime quante parti del numero minore ſono contenute nel maggiore s’intende la pro-
portione maggiore, perche la ſeconda, che eſprime quali ſiano quelle parti del numero minore, è quella iſteſſa come à dire la ſopraotto partien
te le undecime, e maggiore, che la ſopr atripartiente le undecime, perche queſta dal numero minore, che è il ternario, quella dall’otto, che è
piu ſi denomina eſſendo la ſeconda denominatione la isteſſa nell’una, & nell’altra.
1110portione maggiore, perche la ſeconda, che eſprime quali ſiano quelle parti del numero minore, è quella iſteſſa come à dire la ſopraotto partien
te le undecime, e maggiore, che la ſopr atripartiente le undecime, perche queſta dal numero minore, che è il ternario, quella dall’otto, che è
piu ſi denomina eſſendo la ſeconda denominatione la isteſſa nell’una, & nell’altra.
Qui ci biſognerebbe la generatione, &
le propiet à di ciaſcuna proportione, &
quel bello diſcorſo, che ſanno gli Arithmetici prouando, che
ogni diſaguaglianza naſce dall’ agguaglianza, & che l’equalità ė principio della diſegualit à, & che ogni diſegualità ſi riduce all’ agualianza,
ma laſciar biſogna coſi alte conſiderationi à quelli che uogliono trouare il principio di tutte le coſe create, la unità trina di eſſo, & la produt-
tione non di queſte fabriche particolari, ma della uniuerſità del mondo, & delle coſe: Parlaremo adunque del raccogliere, moltiplicare, ſce-
mare, & del partire le proportioni, ilche ci ſeruirà alli nostri biſogni, perche Vitr. in molti luoghi aggiugne, ſottragge, ė diuide le propor-
tiom, come ſi uedrà ancho nel preſente Libro al primo capo, al ſecondo, & all’ultimo, & nel quarto al terzo capo.
ogni diſaguaglianza naſce dall’ agguaglianza, & che l’equalità ė principio della diſegualit à, & che ogni diſegualità ſi riduce all’ agualianza,
ma laſciar biſogna coſi alte conſiderationi à quelli che uogliono trouare il principio di tutte le coſe create, la unità trina di eſſo, & la produt-
tione non di queſte fabriche particolari, ma della uniuerſità del mondo, & delle coſe: Parlaremo adunque del raccogliere, moltiplicare, ſce-
mare, & del partire le proportioni, ilche ci ſeruirà alli nostri biſogni, perche Vitr. in molti luoghi aggiugne, ſottragge, ė diuide le propor-
tiom, come ſi uedrà ancho nel preſente Libro al primo capo, al ſecondo, & all’ultimo, & nel quarto al terzo capo.
Ben ė uero che oltra la Simmetria, &
proportione molte fiate ſi riguarda à quello che richiede l’occhio perche alcune coſe ſono che la gran-
dezza loro ricerca piu preſto una ſatisfattione della uista, che una ragione di miſura.
dezza loro ricerca piu preſto una ſatisfattione della uista, che una ragione di miſura.
Et l’uſo ſpeſſo dimanda altro, che proportione, come chiaramente in molti luoghi ci dimoſtra Vitruuio, ma chi conſidera bene tutto è proportio-
ne, & conueneuolezza.
2220ne, & conueneuolezza.
Hor al propoſito per raccorre due proportioni inſieme biſogna prima trouare il denominatore della proportione prodotta, dapoi raccogliere i
numeri poſti ſotto la iſteßa prodotta proportione.
numeri poſti ſotto la iſteßa prodotta proportione.
Il primo ſi fa à queſto modo, moltiplica il denominatore d’ una proportione, nel denominatore dell’altra, &
coſi ne procederà il denominatore
della raccolta è prodotta proportione.
della raccolta è prodotta proportione.
Ilſecondo ſi fa moltiplicando tra ſe i numeri antecedenti delle propoſte proportioni, &
moltiplicando ſimilmente tra ſe i numeri conſeguenti del-
le dette proportioni, auuertendo che questa regola ci ſerue nelle proportioni ſimiglianti, cioe quando amendue ſono della maggiore diſagua-
glianza, ò uero amendue della minore, perche quando fuſſe altrimenti, ci biſogna un’altra regola (come dirò qui ſotto). Hora all’ eßempio, ecco
la ragione che é tra nuoue e tre, è tripla, & la ragione che è tra quattro e dua, è doppia.
le dette proportioni, auuertendo che questa regola ci ſerue nelle proportioni ſimiglianti, cioe quando amendue ſono della maggiore diſagua-
glianza, ò uero amendue della minore, perche quando fuſſe altrimenti, ci biſogna un’altra regola (come dirò qui ſotto). Hora all’ eßempio, ecco
la ragione che é tra nuoue e tre, è tripla, & la ragione che è tra quattro e dua, è doppia.
Voglio raccoglier inſieme una tripla, &
una doppia, dico, che biſogna moltiplicare i denominatori di queste proportioni uno nell’ altro, adunque
ſi moltiiplchera due che è denominatore della doppia, nel tre, che è denominatore della tripla, & ne riuſcirà ſei, che ſer à denominatore della
3330 generata proportione, & pero da una tripla, & da una doppia ne naſce una ſeſtupla, ilche appare per li numeri moltiplicati d’amendue le
proportioni, perche moltiplicato noue per quattro, ne uien trentaſei & tre per due ne uien ſei. La doue trentaſei riſpetta à ſei tiene pro-
portione ſeſtupla.
ſi moltiiplchera due che è denominatore della doppia, nel tre, che è denominatore della tripla, & ne riuſcirà ſei, che ſer à denominatore della
3330 generata proportione, & pero da una tripla, & da una doppia ne naſce una ſeſtupla, ilche appare per li numeri moltiplicati d’amendue le
proportioni, perche moltiplicato noue per quattro, ne uien trentaſei & tre per due ne uien ſei. La doue trentaſei riſpetta à ſei tiene pro-
portione ſeſtupla.
Voglio ſimilnsente nelle ſopraparticolari raccoglier due proportioni come la ſeſquialtera che è tra tre, e dua, &
una ſeſquiterza che è tra tre ė
quattro, moltiplico il denominatore della ſeſquiterza, nel do minatore della ſeſquialtera che e un mezzo in uno è un terzo, & ne naſce due,
che è denominatore della prodotta proportione, & pero da una ſeſquialtera, & d’una ſeſquiterza ne naſce una doppia.
quattro, moltiplico il denominatore della ſeſquiterza, nel do minatore della ſeſquialtera che e un mezzo in uno è un terzo, & ne naſce due,
che è denominatore della prodotta proportione, & pero da una ſeſquialtera, & d’una ſeſquiterza ne naſce una doppia.
Ecco ne i numeri gli eſſempi moltiplica gli antecedenti e primi numeri tra ſe cioè tre in quattro fa dodici, &
ſimilmente i conſequenti delle dette
proportioni, che ſon due, & tre, ne riſolter à ſei, ma dodici à ſei, è in doppia proportione.
proportioni, che ſon due, & tre, ne riſolter à ſei, ma dodici à ſei, è in doppia proportione.
Quando adunque la conſonanza muſicale detta Diapente ſia in proportione ſeſquialtera, &
la Diateſſaron in ſeſquiterza, d’amendue raccolte
inſieme ne riſoltera la Diapaſon, che conſiſte in doppia proportione.
4440inſieme ne riſoltera la Diapaſon, che conſiſte in doppia proportione.
Similmente adduremo l’eſſempio nelle ſoprapartienti, uoglio aggiugnere la bipartiente le terze, come cinque à tre, alla tripartiẽte le quarte come
ſette à cinque piglio il denominatore della bipartiente le terze che e un e due terze, & lo moltiplico inſieme col denominatore della ſopra tri-
partiente le quarte che è un è tre quarti che fanno due & undeci duodecimi, da i quali naſce la doppia undeci partiente le duodecime.
ſette à cinque piglio il denominatore della bipartiente le terze che e un e due terze, & lo moltiplico inſieme col denominatore della ſopra tri-
partiente le quarte che è un è tre quarti che fanno due & undeci duodecimi, da i quali naſce la doppia undeci partiente le duodecime.
Adunque dalla bipartiente le terze, &
dalla tripartiente le quarte, ne riſolta la doppia undeci partiente le duodecime.
Ecco multiplica cinque e
ſette che ſono gli primi numeri delle predette proportioni, ne riſolta trentacinque, moltiplica ancho i ſecondi che ſon tre, & quattro fan
dodici, trentacinque adunque contiene dodici due fiate, & undeci duodecimi.
ſette che ſono gli primi numeri delle predette proportioni, ne riſolta trentacinque, moltiplica ancho i ſecondi che ſon tre, & quattro fan
dodici, trentacinque adunque contiene dodici due fiate, & undeci duodecimi.
Et coſi ſi raccoglieno le proportioni quando amendue ſono ſimili.
Ma quando ſono disſimili cioè una della maggior diſaguaglianza, &
l’altra del-
la minore, allhora quella proportione che è denominata dalla maggior quantità ſi deue partire per l’altra, ſia adunque da comporre una ſot-
to doppia con una ſeſquialtera come un e due, con tre e due.
la minore, allhora quella proportione che è denominata dalla maggior quantità ſi deue partire per l’altra, ſia adunque da comporre una ſot-
to doppia con una ſeſquialtera come un e due, con tre e due.
La ſottodoppia proportione, ė, denominata dal due, come la doppia, &
la ſeſquialtera è denominata dall’uno è mezzo, che è meno dalla doppia,
5550 partiſcaſi adunque due per un’e mezzo, ne riſultera uno ė un terzo, dalle propoſte proportioni adunque ne uien la proportione ſubſeſqui-
terza, percioche quella che ſi deue partire, è della diſaguaglianza minore, & la proportione che e nata, ſeguita in queſta parte la proportio-
ne che eſſer deue partita.
5550 partiſcaſi adunque due per un’e mezzo, ne riſultera uno ė un terzo, dalle propoſte proportioni adunque ne uien la proportione ſubſeſqui-
terza, percioche quella che ſi deue partire, è della diſaguaglianza minore, & la proportione che e nata, ſeguita in queſta parte la proportio-
ne che eſſer deue partita.
Ecco ne i numeriun e due ſopra tre è dua, moltiplica i primi numeri inſieme, che ſono un’ &
tre, ne naſcerà tre, che ſi deue notar di ſotto, dapoi
moltiplica due in due ne riſolterà quattro, & tre à quattro, e, in proportione ſubſeſquiterza.
moltiplica due in due ne riſolterà quattro, & tre à quattro, e, in proportione ſubſeſquiterza.
Ma quando biſogno ſia comporre piu di due proportioni inſieme, componer ai con la terza quello, che riſolta delle due prime, &
la compoſta di
tre componerai con la quarta, & coſi per ordine; per eſſempio ſian questi numeri quattro, tre, due, tre, uno.
tre componerai con la quarta, & coſi per ordine; per eſſempio ſian questi numeri quattro, tre, due, tre, uno.
Dalle proportioni adunque di quattro à tre, &
di tre à due (come s’ė detto) ne naſce una doppia, laqual partita per la ſeguente ſeſquialtera due a
tre fa la ſeſquiterza, laqual moltiplicata in una tripla, che ha tre ad uno, fa la quadrupla, che ha quattro ad uno.
tre fa la ſeſquiterza, laqual moltiplicata in una tripla, che ha tre ad uno, fa la quadrupla, che ha quattro ad uno.
Dalle coſe dette ne naſce che di due proportioni della maggior diſaguaglianza inſieme compoſte, ſi genera la proportione della maggior diſagua-
6660 glianza, ma l’una & l’altra, è, maggiore, conſeguentemente da due proportioni della minor diſaguaglianza, ſi produce la proportione della mi
nor diſaguaglianza, & l’una, é l’altra ė minor proportione.
6660 glianza, ma l’una & l’altra, è, maggiore, conſeguentemente da due proportioni della minor diſaguaglianza, ſi produce la proportione della mi
nor diſaguaglianza, & l’una, é l’altra ė minor proportione.
Ma da una della maggiore, &
l’altra della minore, ſi fa tale proportione, quale è, quella che, è, denominata dal numero maggiore.
Ma la pro-
portione della aguaglianza, con la proportione della maggior diſaguaglianza produce la iſteſſa proportione della maggior diſaguaglianza, &
fa lo iſteſſo riſpondente con la proportione della minor diſagualianza per ilche ſi uede che la proportione della aguaglianza moltiplicata in ſe
ſteſſa, produce la ragione della aguaglianza. Et queſto detto ſia del componimento delle proportioni.
portione della aguaglianza, con la proportione della maggior diſaguaglianza produce la iſteſſa proportione della maggior diſaguaglianza, &
fa lo iſteſſo riſpondente con la proportione della minor diſagualianza per ilche ſi uede che la proportione della aguaglianza moltiplicata in ſe
ſteſſa, produce la ragione della aguaglianza. Et queſto detto ſia del componimento delle proportioni.
Ma quando uorremo ſottrare una proportione dall’ altra, &
conoſcer quale proportione reſta, biſogna ciò fare per uia del partire, ma ſi deue au-
uertire quello, che ne i numeri s’ė detto, che ſi come il minor numero ſi deue leuare dal magiore, & non il maggiore dal minore, coſi ancho
nelle proportioni ſi ſerua il medeſimo, che la minor ſi leua dalla maggiore, primamente adunque ſi parte il denominatore della maggiore, per
lo denominatore della minore, & ſi produce il denominator di quella che resta. Dapoi per li numeri poſti ſotto le date proportioni.
7770uertire quello, che ne i numeri s’ė detto, che ſi come il minor numero ſi deue leuare dal magiore, & non il maggiore dal minore, coſi ancho
nelle proportioni ſi ſerua il medeſimo, che la minor ſi leua dalla maggiore, primamente adunque ſi parte il denominatore della maggiore, per
lo denominatore della minore, & ſi produce il denominator di quella che resta. Dapoi per li numeri poſti ſotto le date proportioni.
Et ciò ſi fa in queſto modo pongaſi di ſopra i numeri della maggior proportione, che ė quella, che ſi deue partire, &
di ſotto i numeri della mi-
nore, dapoi moltiplicato ſia il primo antecedente numero di quella proportione, che ſi deue partire, per il conſeguente del par-
titore, perche ſi farà l’antecedente e primo di quella proportione, che reſta, & per la moltiplicatione del ſecondo numero della propor-
tione da eſſer diuiſa per lo conſeguente della diuidente, ne naſce il conſeguente della restante, & queſto modo conuiene col partire de i rotti
uulgari.
nore, dapoi moltiplicato ſia il primo antecedente numero di quella proportione, che ſi deue partire, per il conſeguente del par-
titore, perche ſi farà l’antecedente e primo di quella proportione, che reſta, & per la moltiplicatione del ſecondo numero della propor-
tione da eſſer diuiſa per lo conſeguente della diuidente, ne naſce il conſeguente della restante, & queſto modo conuiene col partire de i rotti
uulgari.