7436Apollonij Pergæi
ITaque per C producamus C I parallelam perpendiculari E D, &
pona-
11b mus quamlibet duarum proportionum C F ad F D, & E K ad K D, vt
proportio figuræ, & educamus ex E, K rectas E I, K S parallelas ipſi C
AD, & interponamus inter F C, C A duas medias proportionales C N,
22Lem. 7.33c C O, & erigamus per O perpendicularem B O, quæ occurrat ſectioni in
B; & ponamus proportionem alicuius lineæ, vt Q ad B O compoſitam
44d ex C D ad D F, & F O ad O C, & ſit E D maior, quàm Q Trutina: Di-
co, quod nulla breuiſecans egreditur ex E ad ſectionem, & linea breuiſ-
ſima, egrediens ab extremitate cuiuslibet rami aſſignati, abſcindit cum
A ab axi maiorem lineam, quàm ſecant illi rami. Producatur priùs E B
55e ſecans axim in H, & quia E D maior eſt, quàm Q, ergo proportio E D
66f ad B O (quæ componitur ex E D ad D K, nempe I C ad C S, & ex D
K, nempe G O ad O B) maior eſt proportione, quàm habet Q ad B O,
quæ ex hypotheſi componebatur ex C D ad D F, & ex F O ad O C; ſed
77g E D ad D K eſt, vt C D ad D F (quia quælibet earum eſt, vt proportio
figuræ compoſitæ, vel diuiſæ) remanet proportio O G ad O B maior ea,
quàm habet F O ad O C; igitur O G in O C, nempe rectangulum C G
88Lem. 5.
præmiſſ. maius eſt, quàm B O in O F: & ponamus rectangulum F G commune,
99h erit rectangulum F S maius, quàm B G in G M; eſt verò rectangulum
F S æquale rectangulo E M (eo quod E K ad K D, nempe ad F M eſt, vt
S M ad M K, quia quælibet earum eſt, vt proportio figuræ; itaque re-
1010i ctangulum E M maius eſt, quàm M G in G B, & propterea E K ad B G,
1111ibidem. nempe K R ad R G maiorem rationem habet, quàm G M ad M K, ergo
componendo, patet, quod K M, nempe D F maior eſt, quàm G R, &
ideo E I ad K M, nempe C D ad D F, ſeu I C ad C S minorem propor-
tionem habet, quàm E I ad G R, quæ eſt, vt I T ad B G, propter ſimi-
litudinem duorum triangulorum E I T, B G R, ergo I T ad B G maiorem
1212K rationem habet, quàm I C ad C S, ſeu ad O G; & comparando homo-
1313Lem. 4.
præm logorum differentias in hyperbola, & eorum ſummas in ellipſi, habebit
C T ad B O, nempe C H ad H O maiorem rationem, quàm I C ad C S,
nempe C D ad D F, & diuidendo in hyperbola, & componendo in elli-
pſi C O ad O H, habebit maiorem proportionem quàm C F ad F D, quæ
eſt, vt proportio figuræ; igitur breuiſſima egrediens ex B (9. 10. ex quinto)
abſcindit cum A maiorem lineam, quàm A H.
11b mus quamlibet duarum proportionum C F ad F D, & E K ad K D, vt
proportio figuræ, & educamus ex E, K rectas E I, K S parallelas ipſi C
AD, & interponamus inter F C, C A duas medias proportionales C N,
22Lem. 7.33c C O, & erigamus per O perpendicularem B O, quæ occurrat ſectioni in
B; & ponamus proportionem alicuius lineæ, vt Q ad B O compoſitam
44d ex C D ad D F, & F O ad O C, & ſit E D maior, quàm Q Trutina: Di-
co, quod nulla breuiſecans egreditur ex E ad ſectionem, & linea breuiſ-
ſima, egrediens ab extremitate cuiuslibet rami aſſignati, abſcindit cum
A ab axi maiorem lineam, quàm ſecant illi rami. Producatur priùs E B
55e ſecans axim in H, & quia E D maior eſt, quàm Q, ergo proportio E D
66f ad B O (quæ componitur ex E D ad D K, nempe I C ad C S, & ex D
K, nempe G O ad O B) maior eſt proportione, quàm habet Q ad B O,
quæ ex hypotheſi componebatur ex C D ad D F, & ex F O ad O C; ſed
77g E D ad D K eſt, vt C D ad D F (quia quælibet earum eſt, vt proportio
figuræ compoſitæ, vel diuiſæ) remanet proportio O G ad O B maior ea,
quàm habet F O ad O C; igitur O G in O C, nempe rectangulum C G
88Lem. 5.
præmiſſ. maius eſt, quàm B O in O F: & ponamus rectangulum F G commune,
99h erit rectangulum F S maius, quàm B G in G M; eſt verò rectangulum
F S æquale rectangulo E M (eo quod E K ad K D, nempe ad F M eſt, vt
S M ad M K, quia quælibet earum eſt, vt proportio figuræ; itaque re-
1010i ctangulum E M maius eſt, quàm M G in G B, & propterea E K ad B G,
1111ibidem. nempe K R ad R G maiorem rationem habet, quàm G M ad M K, ergo
componendo, patet, quod K M, nempe D F maior eſt, quàm G R, &
ideo E I ad K M, nempe C D ad D F, ſeu I C ad C S minorem propor-
tionem habet, quàm E I ad G R, quæ eſt, vt I T ad B G, propter ſimi-
litudinem duorum triangulorum E I T, B G R, ergo I T ad B G maiorem
1212K rationem habet, quàm I C ad C S, ſeu ad O G; & comparando homo-
1313Lem. 4.
præm logorum differentias in hyperbola, & eorum ſummas in ellipſi, habebit
C T ad B O, nempe C H ad H O maiorem rationem, quàm I C ad C S,
nempe C D ad D F, & diuidendo in hyperbola, & componendo in elli-
pſi C O ad O H, habebit maiorem proportionem quàm C F ad F D, quæ
eſt, vt proportio figuræ; igitur breuiſſima egrediens ex B (9. 10. ex quinto)
abſcindit cum A maiorem lineam, quàm A H.
Poſteà educamus ex E lineam occurrentem ſectioni in V, &
produca-
mus eam, quouſque occurrat C I ad X, & ducamus per B lineam tan-
1414l gentem ſectionem, quæ occurrat inclinato, ſiue tranſuerſæ in a, & per V
ducamus perpendicularem ſuper axim, cui occurrat ad c, & occurrat tan-
genti B a in d; & quoniam O G ad O B, quemadmodum demonſtraui-
mus, maiorem proportionem habet, quàm F O ad O C, ponamus fO ad
O B, vt F O ad O C, & per f producamus f g h parallelam axi A D: Et
1515m quia f O ad O B eſt, vt F O ad O C, erit rectangulum f O C æquale B O
in O F, & ponamus rectangulum f F communiter fiet B f in f g æquale g
1616n F in F C, & quia C O inuerſa in trutinatam C a æquale eſt quadrato C
A dimidij inclinati, ſiue tranſuerſæ (39. ex primo) erit O C ad C A, vt
C A ad C a; igitur C a eſt linea quinta proportionalis aliarum quatuor
171737. primi.1818o linearum proportionalium aſſignatarum; ergo F C ad C O eſt, vt C O
mus eam, quouſque occurrat C I ad X, & ducamus per B lineam tan-
1414l gentem ſectionem, quæ occurrat inclinato, ſiue tranſuerſæ in a, & per V
ducamus perpendicularem ſuper axim, cui occurrat ad c, & occurrat tan-
genti B a in d; & quoniam O G ad O B, quemadmodum demonſtraui-
mus, maiorem proportionem habet, quàm F O ad O C, ponamus fO ad
O B, vt F O ad O C, & per f producamus f g h parallelam axi A D: Et
1515m quia f O ad O B eſt, vt F O ad O C, erit rectangulum f O C æquale B O
in O F, & ponamus rectangulum f F communiter fiet B f in f g æquale g
1616n F in F C, & quia C O inuerſa in trutinatam C a æquale eſt quadrato C
A dimidij inclinati, ſiue tranſuerſæ (39. ex primo) erit O C ad C A, vt
C A ad C a; igitur C a eſt linea quinta proportionalis aliarum quatuor
171737. primi.1818o linearum proportionalium aſſignatarum; ergo F C ad C O eſt, vt C O