8042Apollonij Pergæi
pter parallelas D E,
57[Figure 57]
B G, &
ſimilitudinẽ
triangulorum E D I,
& B G I, eſt D I ad I
G, vt E D ad B G;
igitur D I ad I G ma-
iorem proportionem
habet, quàm G F ad
F D, & componendo
D G ad G I maio rem
rationem habebit,
quàm eadem G D ad
D F; & Ideo I G mi-
nor eſt, quàm D F.
11ctriangulorum E D I,
& B G I, eſt D I ad I
G, vt E D ad B G;
igitur D I ad I G ma-
iorem proportionem
habet, quàm G F ad
F D, & componendo
D G ad G I maio rem
rationem habebit,
quàm eadem G D ad
D F; & Ideo I G mi-
nor eſt, quàm D F.
Igitur G F æqua-
lis eſt GO, ergo G
O ad O M, & c. Igi-
tur G F æqualis eſt G
O, & quia F O ſecatur
bifariam in G, & non
bifariam in M (ex
lemmate ſexto huius
libri) habebit ſemisſis G O ad vnum ſegmentorum inæqualium M O maiorem pro-
portionem, quàm reliquum ſegmentum M F ad alteram medietatem F G, ſed pro-
pter parallelas P M, B G, & ſimilitudinem triangulorum B G O, P M O eſt G O ad
O M, vt B G ad P M, ergo B G ad P M maiorem proportionem habet, quàm M F ad
F G: habet verò B G ad minorem M K maiorem proportionem, quàm ad M P (cum
punctum P tangentis cadat extra ſectionem); ergo B G ad K M adhuc maiorem pro-
portionem habet, quàm M F ad F G.
lis eſt GO, ergo G
O ad O M, & c. Igi-
tur G F æqualis eſt G
O, & quia F O ſecatur
bifariam in G, & non
bifariam in M (ex
lemmate ſexto huius
libri) habebit ſemisſis G O ad vnum ſegmentorum inæqualium M O maiorem pro-
portionem, quàm reliquum ſegmentum M F ad alteram medietatem F G, ſed pro-
pter parallelas P M, B G, & ſimilitudinem triangulorum B G O, P M O eſt G O ad
O M, vt B G ad P M, ergo B G ad P M maiorem proportionem habet, quàm M F ad
F G: habet verò B G ad minorem M K maiorem proportionem, quàm ad M P (cum
punctum P tangentis cadat extra ſectionem); ergo B G ad K M adhuc maiorem pro-
portionem habet, quàm M F ad F G.
Itaque K M in M F minus eſt, quàm B G in G F, &
c.
Quoniam prima B G
22d ad ſecundam K M maiorem proportionem habet, quàm tertia M F ad quartam F G;
ergo ex lemmate quinto huius librirectangulum ſub intermedijs contentum K M F
minus erit rectangulo B G F ſub extremis cõtento; poſtea, quia H ad B G ex hypotheſi
erat, vt G F ad F D, poſita autem fuit E D maior, quàm H, quæ eſt prima propor-
tionalium; ergo E D ad B G maiorem proportionem habet, quàm G F ad F D, & pro-
33Lem. 5. pterea rectangulum ſub extremis E D F maius erit rectangulo ſub intermedijs con-
tento B G F; fuit autem rectangulum B G F maius rectangulo K M F; igitur rectan-
gulum E D F multò maius eſt, quàm rectangulum K M F, & ideo, ex eodem lemma-
te quinto, E D ad M K, nempe D R ad R M (propter ſimilitudinem triangulorum
E D R, & K M R) maiorem rationem habet, quàm M F ad F D.
22d ad ſecundam K M maiorem proportionem habet, quàm tertia M F ad quartam F G;
ergo ex lemmate quinto huius librirectangulum ſub intermedijs contentum K M F
minus erit rectangulo B G F ſub extremis cõtento; poſtea, quia H ad B G ex hypotheſi
erat, vt G F ad F D, poſita autem fuit E D maior, quàm H, quæ eſt prima propor-
tionalium; ergo E D ad B G maiorem proportionem habet, quàm G F ad F D, & pro-
33Lem. 5. pterea rectangulum ſub extremis E D F maius erit rectangulo ſub intermedijs con-
tento B G F; fuit autem rectangulum B G F maius rectangulo K M F; igitur rectan-
gulum E D F multò maius eſt, quàm rectangulum K M F, & ideo, ex eodem lemma-
te quinto, E D ad M K, nempe D R ad R M (propter ſimilitudinem triangulorum
E D R, & K M R) maiorem rationem habet, quàm M F ad F D.
Et componendo patet, quod D F, &
c.
Quoniam D R ad R M maiorem ratio-
44e nem habet, quàm M F ad F D, componendo D M ad M R habebit maiorem propor-
tionem, quàm eadem M D ad D F, & propterea D F mator eſt, quàm R M, eſt verò
ſemisſis erecti A C æqualis D F ex conſtructione, igitur M R minor eſt A C medieta-
te lateris recti, & propterea breuiſsima educta ex K ſecat ex axi ſegmentum maius,
558. huius. quàm M R; ideoque cadit extra, ſcilicet infra ramum K R E.
44e nem habet, quàm M F ad F D, componendo D M ad M R habebit maiorem propor-
tionem, quàm eadem M D ad D F, & propterea D F mator eſt, quàm R M, eſt verò
ſemisſis erecti A C æqualis D F ex conſtructione, igitur M R minor eſt A C medieta-
te lateris recti, & propterea breuiſsima educta ex K ſecat ex axi ſegmentum maius,
558. huius. quàm M R; ideoque cadit extra, ſcilicet infra ramum K R E.