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20[Figure 20]
no ſono ſei, et le loro conuerſe ſei, però dodici ſono inutili. Adunque
tutti i modi ſi utili, come inutili ſono quaranta otto. Soppoſto
adunque il primo modo, cioè che la proportione che è tra a el b. ſia
composta delle proportioni che ſono tra c, et d. et tra e, et f. io dimo
strerò il ſecondo, che è compoſto della iſteſſa, che è trac. et. f. et tra,
e. et d. percheio ponerò tra c, et f. la proportione di d, et e. doue la
proportione tra c, et f. ſarà compoſta delle proportioni, che ſono tra
c, & d. & tra d, & c. & trae. & f. perilche ne ſeguita, che le pro
portioni che ſono tra e, & f. & tra e, & d. ſaranno composte delle
proportioni che ſono trac, & d. tra d, & e. & tra e. & f. & trae.
& d. Male proportioni che ſono tra c, & d. trad. & e. et tra e. et
d. compongono quella, che è tra e. et d. per la terza propoſitio
ne. poſti d, et c. tra c. et d. adunque e. à d. et c. ad f. ſono ſi come c.
à d. et a. ad f. ma la proportione, che è tra a. et b. è compoſta delle
proportioni che ſono tra e. et d. et tra e, et f. adunque la proportione
tra a, et b. ſarà composta delle proportioni, che ſono tra c. & f. et
tra e. et d. che ſono le poſte nella concluſione.
20[Figure 20]no ſono ſei, et le loro conuerſe ſei, però dodici ſono inutili. Adunque
tutti i modi ſi utili, come inutili ſono quaranta otto. Soppoſto
adunque il primo modo, cioè che la proportione che è tra a el b. ſia
composta delle proportioni che ſono tra c, et d. et tra e, et f. io dimo
strerò il ſecondo, che è compoſto della iſteſſa, che è trac. et. f. et tra,
e. et d. percheio ponerò tra c, et f. la proportione di d, et e. doue la
proportione tra c, et f. ſarà compoſta delle proportioni, che ſono tra
c, & d. & tra d, & c. & trae. & f. perilche ne ſeguita, che le pro
portioni che ſono tra e, & f. & tra e, & d. ſaranno composte delle
proportioni che ſono trac, & d. tra d, & e. & tra e. & f. & trae.
& d. Male proportioni che ſono tra c, & d. trad. & e. et tra e. et
d. compongono quella, che è tra e. et d. per la terza propoſitio
ne. poſti d, et c. tra c. et d. adunque e. à d. et c. ad f. ſono ſi come c.
à d. et a. ad f. ma la proportione, che è tra a. et b. è compoſta delle
proportioni che ſono tra e. et d. et tra e, et f. adunque la proportione
tra a, et b. ſarà composta delle proportioni, che ſono tra c. & f. et
tra e. et d. che ſono le poſte nella concluſione.
Il terzo modo è, che anche la proportione tra a, et c. ſarà compoſta della proportione di b, à
d. et di c. ad f. ilche è manifeſto, perche poſto b. tra a. et c. la proportione che è tra a. et c. ſarà
compoſta da quella, che è tra a. et b. tra b. et c. ma la proportione, che è tra a, et b. ſi compo
ne di c. et d. et di e. et f. ſecondo il ſuppoſto da noi. adunque a, à c. è fa ta di b. et c. et
et di c. et d. et die, et f. ma b, à c. et c. à d. compongono la b. à d. trapoſto il c. tra b. et e.
Adunque la proportione, che è tra a, et c. è compoſta di b. et d. et di e. et f.
d. et di c. ad f. ilche è manifeſto, perche poſto b. tra a. et c. la proportione che è tra a. et c. ſarà
compoſta da quella, che è tra a. et b. tra b. et c. ma la proportione, che è tra a, et b. ſi compo
ne di c. et d. et di e. et f. ſecondo il ſuppoſto da noi. adunque a, à c. è fa ta di b. et c. et
et di c. et d. et die, et f. ma b, à c. et c. à d. compongono la b. à d. trapoſto il c. tra b. et e.
Adunque la proportione, che è tra a, et c. è compoſta di b. et d. et di e. et f.
Il quarto modo procede dal terzo, ſi come il ſecondo dal primo.
poſti tra b, & f. commune
mente d. & e. & coſi tutti i modi pari, con i loro diſpari ſi collegano, per iſchiſare il repetere
la iſteſſa uia.
mente d. & e. & coſi tutti i modi pari, con i loro diſpari ſi collegano, per iſchiſare il repetere
la iſteſſa uia.
Il quinto modo è che la proportione di a, ad e. è compoſta di b, ad f. & di c. à d. perche po
ſto b. tra a, & e. ſi fa l'argomento del terzo. perche lo a. ad e. è compoſto dello a. al b. & del b.
allo e. ma lo a. al b. è compoſto dell' e. al f. & del c. al d. perche coſi hauemo poſto. adunque a,
ad e. ſi compone di b. à c. & die. ad f. & di c. à d. ma b. ad e. & e. ad f. compongono b. ad f. tra
poſto e. tra b, & f. adunque la proportione tra a. & e. è compoſta delle proportioni, che ſono
tra b. & f. & tra c, & d.
ſto b. tra a, & e. ſi fa l'argomento del terzo. perche lo a. ad e. è compoſto dello a. al b. & del b.
allo e. ma lo a. al b. è compoſto dell' e. al f. & del c. al d. perche coſi hauemo poſto. adunque a,
ad e. ſi compone di b. à c. & die. ad f. & di c. à d. ma b. ad e. & e. ad f. compongono b. ad f. tra
poſto e. tra b, & f. adunque la proportione tra a. & e. è compoſta delle proportioni, che ſono
tra b. & f. & tra c, & d.
Il ſeſto modo ſi caua dal quinto, per lo argomento del ſecondo, trapoſto f. & c. tra b. & d.Il ſettimo compone la proportione di b, à d. delle proportioni di à.
a c. & di f. ad e. perche
eſſendo compoſto a. b. di c. à d. & die. ad f. ne ſegue per la quarta proportione, che la proportio
ne tra b, & a. ſarà compoſta di d. & c. & di f. & e. poſto adunque a. tra b. & d. la proportio
ne, che è tra b, & d. ſarà fatta di b. & a. & di a, & d. ma b, & a. è compoſto di d. & c. et di f.
& e. adunque la proportione di b. à d. ſarà compoſta di tre proportioni. cioè di a, à d. di d, à
c. & di f. ad e. Ma la a, à d. & la d. à c. compongono quella, che è tra a. & c. trappoſto
d. tra a, & c. adunque la proportione di b. à d. ſarà composta delle proportioni di a, à c. &
di f. ad e. ilche era il propoſito.
eſſendo compoſto a. b. di c. à d. & die. ad f. ne ſegue per la quarta proportione, che la proportio
ne tra b, & a. ſarà compoſta di d. & c. & di f. & e. poſto adunque a. tra b. & d. la proportio
ne, che è tra b, & d. ſarà fatta di b. & a. & di a, & d. ma b, & a. è compoſto di d. & c. et di f.
& e. adunque la proportione di b. à d. ſarà compoſta di tre proportioni. cioè di a, à d. di d, à
c. & di f. ad e. Ma la a, à d. & la d. à c. compongono quella, che è tra a. & c. trappoſto
d. tra a, & c. adunque la proportione di b. à d. ſarà composta delle proportioni di a, à c. &
di f. ad e. ilche era il propoſito.
L'ottauo modo.
ſi come preſupoſto il primo ſi caua il ſecondo, coſi per lo iſteſſo argomento
ſi caua l'ottauo i ſuppoſti, & prouati ne i precedenti, posto in mezo di a. & e. e. & f.
ſi caua l'ottauo i ſuppoſti, & prouati ne i precedenti, posto in mezo di a. & e. e. & f.
Il nono.
ſimilmente la proportione di b, ad e. ſarà compoſta delle proportioni di a. ad e. & di
d. à c. perche b ad a, è compoſto di d. à c. & di f. ad e. trapposto a. tra b. & f. ſarà la pro
portione tra b, & f. compoſta di b. ad a. & di a. ad f. & però b, ad f. ſarà compoſta di a. ad f.
& di f. ad e. & di d. à c. ma a. ad f. & f. ad e. compongono a. ad e. adunque b. & f. è com
poſta di a. & e. & di d. & c.Il decimo.
d. à c. perche b ad a, è compoſto di d. à c. & di f. ad e. trapposto a. tra b. & f. ſarà la pro
portione tra b, & f. compoſta di b. ad a. & di a. ad f. & però b, ad f. ſarà compoſta di a. ad f.
& di f. ad e. & di d. à c. ma a. ad f. & f. ad e. compongono a. ad e. adunque b. & f. è com
poſta di a. & e. & di d. & c.Il decimo.