11583TERTIVS.
tatis ad alteram, ſed unius proportionis ad alteram, uerbi gratia, ſi dixeris proportionem illam, quæ inter qua-
tuor cadit, & duo, ſimilem eſſe illi proportioni , quæ cadit inter octo , & quatuor, nam utraque dupla eſt,
ideo duplæ omnes, triplæ item, & quadruplæ, reliquæq́; ſiue ſint unius generis, cuiuſmodi ſunt , quæ cadunt
inter lineam, & lineam, inter planum, & planum, inter corpus, & corpus, ſiue ſint generum diuerſorum, qua
les ſunt quæ cadunt inter lineam, & planum, inter planum, & corpus; proportionales ſunt, hoc eſt poſſunt
proportionum ſimilitudine inter ſe conferri, & conſequenter ſimiles habentur, & ubi eſt proportionum col-
latio, quam proportionalitatem uocant, ibi neceſſario eſt proportio. quoniam proportionalitas, ut ita dicam,
nil aliud eſt, quàm proportionum reſponſus , ſed none contrario, nam inter quatuor, & duo proportio cadit,
ſed non proportionalitas. In his igitur proportionum comparationibus, omne artis ſecretum ponitur. In com-
1110 ponendis igitur proportionibus, illud obſeruandum est, an ambæ rationes ſint ſimiles, an diſſimiles, hoc est an
ſint ambæ ex his, quæ a maiori in minus deſinunt, an ex his, quæ a minori in maius terminantur . An altera
unius, altera ſit alterius generis, nam hoc plurimum intereſt. ut ex regulis dignoſcemus. In componendis
etiam proportionibus duo ſe ſe offerunt conſideranda, primum est denominatio compoſitæ proportionis. Al-
terum est numerorum collectio ſub eadem producta ratione conſtitutorum. Primum abſoluitur hoc modo in
his, quæ ſunt ſimilium generum, ac in multiplicibus. Ducas unius in alterius denominatorem, orietur compo-
ſitæ rationis denominatio. Verbigratia. inter 12. & quatuor tripla eſt proportio, inter quatuor, & octo
dupla. duc tria in duo, fiet ſex. ex tripla igitur, & dupla fiet ſextupla proportio. Secundum abſoluitur, &
confirmatur his numeris , duc 12. in octo fiet 96. & 4. in. 4. fient 16. atque ſi 96. ad ſex-
decim comparaueris, cernes ſextuplam oriri proportionem, quã ex proępoſitis denominationibus collectã cernis.
222033
Tripla # 12--4
Dupla # 8--4
Sextupla # 96--16
Similis ratio in ſupraparticulari proportione obſeruatur. Eſto 6. ad 4. ſeſ-
quialtera, & . 8. ad. 6. ſeſquitertia. duc unum ſemis denominatorem ſeſqui-
alteræ in unum & tertiam denominatorem ſeſquitertiæ. fient 2. a quibus pro-
portio dupla nominatur. Ex ſeſquialtera igitur, & ſeſquitertia oritur dupla, quod
& in numeris cernes hoc modo. Duc 6 in 8 fient 48. & 4 in 6 fient 24. quo facto cernes duplam
inter eos numeros cadere comparationem. Exemplum quoque in ſuprapartientibus ponam. eſto bipartiens
tertias ratio, qualis eſt 5 ad 3 addenda trip artienti quartas, qualis eſt 7 ad 4. denominator bipartiẽs
tertias eſt 1. & duæ tertiæ. & tripartiens quartas eſt unum & tres quartæ. ducito inuicem huiuſmodi de-
nomin. itores, fient 2 & undecim duodecimæ, a quibus dupla undecupartiens duodecimas nominatur. quod
& numeri hinc inde prouenientes oſtendunt. ducendo 5 in 7. qui ſunt antecedentes, & 3. in 4. qui
4430 ſunt ſubſequentes, nam ex illis fient 35. ex his 12. inter quos ſupradicta proportio cadit.
55 tuor cadit, & duo, ſimilem eſſe illi proportioni , quæ cadit inter octo , & quatuor, nam utraque dupla eſt,
ideo duplæ omnes, triplæ item, & quadruplæ, reliquæq́; ſiue ſint unius generis, cuiuſmodi ſunt , quæ cadunt
inter lineam, & lineam, inter planum, & planum, inter corpus, & corpus, ſiue ſint generum diuerſorum, qua
les ſunt quæ cadunt inter lineam, & planum, inter planum, & corpus; proportionales ſunt, hoc eſt poſſunt
proportionum ſimilitudine inter ſe conferri, & conſequenter ſimiles habentur, & ubi eſt proportionum col-
latio, quam proportionalitatem uocant, ibi neceſſario eſt proportio. quoniam proportionalitas, ut ita dicam,
nil aliud eſt, quàm proportionum reſponſus , ſed none contrario, nam inter quatuor, & duo proportio cadit,
ſed non proportionalitas. In his igitur proportionum comparationibus, omne artis ſecretum ponitur. In com-
1110 ponendis igitur proportionibus, illud obſeruandum est, an ambæ rationes ſint ſimiles, an diſſimiles, hoc est an
ſint ambæ ex his, quæ a maiori in minus deſinunt, an ex his, quæ a minori in maius terminantur . An altera
unius, altera ſit alterius generis, nam hoc plurimum intereſt. ut ex regulis dignoſcemus. In componendis
etiam proportionibus duo ſe ſe offerunt conſideranda, primum est denominatio compoſitæ proportionis. Al-
terum est numerorum collectio ſub eadem producta ratione conſtitutorum. Primum abſoluitur hoc modo in
his, quæ ſunt ſimilium generum, ac in multiplicibus. Ducas unius in alterius denominatorem, orietur compo-
ſitæ rationis denominatio. Verbigratia. inter 12. & quatuor tripla eſt proportio, inter quatuor, & octo
dupla. duc tria in duo, fiet ſex. ex tripla igitur, & dupla fiet ſextupla proportio. Secundum abſoluitur, &
confirmatur his numeris , duc 12. in octo fiet 96. & 4. in. 4. fient 16. atque ſi 96. ad ſex-
decim comparaueris, cernes ſextuplam oriri proportionem, quã ex proępoſitis denominationibus collectã cernis.
222033
Tripla # 12--4
Dupla # 8--4
Sextupla # 96--16
Similis ratio in ſupraparticulari proportione obſeruatur. Eſto 6. ad 4. ſeſ-
quialtera, & . 8. ad. 6. ſeſquitertia. duc unum ſemis denominatorem ſeſqui-
alteræ in unum & tertiam denominatorem ſeſquitertiæ. fient 2. a quibus pro-
portio dupla nominatur. Ex ſeſquialtera igitur, & ſeſquitertia oritur dupla, quod
& in numeris cernes hoc modo. Duc 6 in 8 fient 48. & 4 in 6 fient 24. quo facto cernes duplam
inter eos numeros cadere comparationem. Exemplum quoque in ſuprapartientibus ponam. eſto bipartiens
tertias ratio, qualis eſt 5 ad 3 addenda trip artienti quartas, qualis eſt 7 ad 4. denominator bipartiẽs
tertias eſt 1. & duæ tertiæ. & tripartiens quartas eſt unum & tres quartæ. ducito inuicem huiuſmodi de-
nomin. itores, fient 2 & undecim duodecimæ, a quibus dupla undecupartiens duodecimas nominatur. quod
& numeri hinc inde prouenientes oſtendunt. ducendo 5 in 7. qui ſunt antecedentes, & 3. in 4. qui
4430 ſunt ſubſequentes, nam ex illis fient 35. ex his 12. inter quos ſupradicta proportio cadit.
Bipartiens tertias # 5--3
Tripartiens quartas # 7--4
Dupla undecupartiens duodecimas. # 35--12
Quod ſi diuerſorum generum proportiones interceßerint, ita
quod in una fiat comparatio maioris ad minus, in altera mi-
noris ad maius: Tunc id obſeruandum eſt, vt partitione uta-
mur. ita enim compoſitio duarum emerget . partitur enim
maior per minorem hunc in modum. ſubdupla ratio a binario nomen capit, quemadmodum & dupla; ſeſquial-
tera autem ab 1 & duodecima, unum igitur & dimidium minus est quàm duo. partire igitur duo per unum
& dimidium. edetur 1. & tertia. Ex prædictis ergo rationibus, ratio emerget ſubſeſquitertia , nam diui-
denda est ea, quæ eſt minoris inæqualitatis, & quæ prouenit inde ratio diuidendam rationem ſequi ſolet, &
experire hoc per numeros 2 4. inter quos eſt ſubdupla proportio, & 6. & 4. inter quos eſt ſeſquialte-
ra proportio. duc 2. in 6. fient 12. & 4 in 4. fient 16. comparato 12 ad 16. uidebis ſubſeſ-
6640 quitertiam proporportione procreari.
77 quod in una fiat comparatio maioris ad minus, in altera mi-
noris ad maius: Tunc id obſeruandum eſt, vt partitione uta-
mur. ita enim compoſitio duarum emerget . partitur enim
maior per minorem hunc in modum. ſubdupla ratio a binario nomen capit, quemadmodum & dupla; ſeſquial-
tera autem ab 1 & duodecima, unum igitur & dimidium minus est quàm duo. partire igitur duo per unum
& dimidium. edetur 1. & tertia. Ex prædictis ergo rationibus, ratio emerget ſubſeſquitertia , nam diui-
denda est ea, quæ eſt minoris inæqualitatis, & quæ prouenit inde ratio diuidendam rationem ſequi ſolet, &
experire hoc per numeros 2 4. inter quos eſt ſubdupla proportio, & 6. & 4. inter quos eſt ſeſquialte-
ra proportio. duc 2. in 6. fient 12. & 4 in 4. fient 16. comparato 12 ad 16. uidebis ſubſeſ-
6640 quitertiam proporportione procreari.
ſubdupla. # 2--4
ſeſquialtera. # 6--4
ſubſeſquitertia. # 12--16
Exemplum hoc ſatis eße potest pro omnibus diuerſorum generum comparatio-
nibus. Cæterum & illud innoteſcet, qua nam ratione plures quàm duæ rationes
inuicem componantur, nam quæ ex duabus prioribus compoſitis effecta fue-
rit, ea cum tertia eodem modo componenda est, quo ſupra diximus. Ad me-
moriam uero reuocanda eſt fractorum, & integrorum ductio, partitio, & collectio, ut facile exerceri poſſi-
mus in hoc genere uniuerſo. Ex prædictis illud colligere poßumus, quod cum ſimiles proportiones componuntur.
verbigratia. maioris inæqualitatis ratio, ſimiliter minoris inæqualitatis, & utraq; maior generatur, quod ex
ſuperioribus exemplis innotuit. Ex duabus quoque minoris inæqualitatis rationibus, ratio prouenit minoris
inæqualitatis, & utraque minor erit. Sed ex una maioris, & altera minoris inæqualitatis comparatione, ra-
8850 tio huiuſmodi gignitur, cuiuſmodi ea eſt, quæ ab ampliori numero nomen capit. Sola uero æqualitatis ratio
in ſe ipſam ducta, rationem procreat æqualitatis. Atque hæc de componendis proportionibus dicta ſint. Nunc
quemadmodum ratio a ratione ſubtrahatur, & quæ reliqua ſit dignoſcatur, dicendum. Si prius obſeruabimus
id partitione quadam effici, & nunquam maiorem a minori, ſed minorem tantum a maiori demi poſſe. quis
enim maius a minori demet? cum nunquam maius in minori reperiri poſſit? Eſficitur demptio, ac ſubtractio
duobus modis, primo ſi partiaris maioris rationis denominatorem numerum per denominatorem minoris, id
quod reliquum erit, procreatus proportionis deominator erit. Secundo in numeris experitur, qui ex ſupra
datis rationibus proueniunt, verbigratia. Constituantur numeri rationis maioris, quæ & est ipſa diuidenda,
& ponatur ſupra numeros ipſius minoris, per quam ratio maior partiri debet, inde ducatur numerus antece-
dens diuidendæ rationis, quæ & maior est, per numerum conſequentem minoris, & diuidentis, certe orietur
9960
nibus. Cæterum & illud innoteſcet, qua nam ratione plures quàm duæ rationes
inuicem componantur, nam quæ ex duabus prioribus compoſitis effecta fue-
rit, ea cum tertia eodem modo componenda est, quo ſupra diximus. Ad me-
moriam uero reuocanda eſt fractorum, & integrorum ductio, partitio, & collectio, ut facile exerceri poſſi-
mus in hoc genere uniuerſo. Ex prædictis illud colligere poßumus, quod cum ſimiles proportiones componuntur.
verbigratia. maioris inæqualitatis ratio, ſimiliter minoris inæqualitatis, & utraq; maior generatur, quod ex
ſuperioribus exemplis innotuit. Ex duabus quoque minoris inæqualitatis rationibus, ratio prouenit minoris
inæqualitatis, & utraque minor erit. Sed ex una maioris, & altera minoris inæqualitatis comparatione, ra-
8850 tio huiuſmodi gignitur, cuiuſmodi ea eſt, quæ ab ampliori numero nomen capit. Sola uero æqualitatis ratio
in ſe ipſam ducta, rationem procreat æqualitatis. Atque hæc de componendis proportionibus dicta ſint. Nunc
quemadmodum ratio a ratione ſubtrahatur, & quæ reliqua ſit dignoſcatur, dicendum. Si prius obſeruabimus
id partitione quadam effici, & nunquam maiorem a minori, ſed minorem tantum a maiori demi poſſe. quis
enim maius a minori demet? cum nunquam maius in minori reperiri poſſit? Eſficitur demptio, ac ſubtractio
duobus modis, primo ſi partiaris maioris rationis denominatorem numerum per denominatorem minoris, id
quod reliquum erit, procreatus proportionis deominator erit. Secundo in numeris experitur, qui ex ſupra
datis rationibus proueniunt, verbigratia. Constituantur numeri rationis maioris, quæ & est ipſa diuidenda,
& ponatur ſupra numeros ipſius minoris, per quam ratio maior partiri debet, inde ducatur numerus antece-
dens diuidendæ rationis, quæ & maior est, per numerum conſequentem minoris, & diuidentis, certe orietur
9960