12391TERTIVS.
dans uocabitur.
Perfectum uero eum numerum dicunt, qui conſtat ex ſumma omanium ſuarum partìum, quem-
admodum ſenarius, cuius partes 1. 2. 3. quæ ſimul ſumptæ, ſenarium reddunt, pari ſorma. 28. numerus
perfectus eſt; nam eius partes ſunt 1. 2. 4. 7. 14. quarum ſumma 28. reddunt. Sed poſtquam de.
numeris perfectis ſermo eſt inſtitus, dicam eorum ortus, uires, proprietatesq́; . & ad faciliorem intelligen-
tiam diffinitiones aliquas numer or um adducam. Numeri quidam ſunt, qui pariter pares nominantur, quidam
uero, qui primi, & incompoſiti dicuntur. pariter pares numeri ſunt, qui cum eorum ſumma par ſit, uſque ad
unitatem in paria diuiduntur. Exempligratia 64. eſt numerus pariter par, & ipſa ſmma 64. par eſt, &
eius prima partitio par eſt. videlicet 32. Cuius item diuiſio par eſt. 16. enim eſt numerus par, dimidium
quoque 16. par eſt, ut pote octo, patiter quoque octonarij dimidium par 4. & quaternarij duo, cuius di-
1110 midium unitas. Ecce qua ratione ſexagintaquatuor est numerus pariter par. Sed numeri primi, & incompo-
ſiti ſunt, qui a ſola unitate numer antur, neque alium babent numerum, qui eos integre partiatur, cuiuſmodi
eſt ternarius numerus, quinarius item, & ſeptenarius, & buinſmodi. His poſitis perfectorum productio ponen-
da eſt. Collocato ordine ſuo pariter pares numeros, & eos collige; ſi perueneris in eam numeri ſummam, quæ
ſit numeri primi, & incompoſiti, & eam duxeris per præcedentem numerum, facies perfectum numerum. col-
locato igitur 1. 2. 4. 8. 16. 32. 64. Collige 1. & 2. reddentur tres, ducito tres numerum pri-
mum, & incompoſitum per duo numerum præcedentem, efficientur ſex. Senarius igitur erit perfectus nume-
rus. pari forma collige 1. 2. 4. reddentur ſeptem, qui numerus eſt primus, & incompoſitus, ducito ſeptem
per quatuor, reddes. 28. qui eſt ſecundus perfectus numerus. Collige item 1. 2. 4. 8. efficies quinde-
cim, is numerus non eſt primus, & incompoſitus, immo babet ſuas partes numerantes ſcilicet ternarium, vel
quinarium. quare ſequere ulterius 1. 2. 4. 8. 16. collige efficies 31. qui numerus primus, & incom-
2220 poſitus est. duc igitur 16. in 31. reddentur 496. numerus perfectus, & ita in alijs. nec mir ere in dena-
rio ſex. in centenario 28. in millenario 496. perfectos numeros, boc eſt tam paucos reperiri, quia rara
ſunt, quæ perfecta ſunt. Simili ratione in denis millibus perfectus eſt tantum 8128. perfectorum numerorum
proprietas eſt, ut terminante primo m ſenarium, ſecundus deſinit in octonarium, tertius in ſenarium, quartus
in octonarium, & nulla alia eſt perfectorum numerorum terminatio. Sed qua ratione ternarius, & denarius
numerus perfecti ſint appellati, nunc dicam. Ternarius numerus complectitur primo primas numerorum diſ-
ferentias, paritatem ſcilicet, & imparitatem, ſolusq́; conficitur ex ſumma præcedentium numerorum, nam
1. & 2. reddunt 3. concluditq́; principium, medium, & finem. bac de cauſa perfectus est numerus iudi-
catus. Denarius uero perfectus est dictus, quoniam tanquam forma omnes alios numeros includit, ultra de-
cem enim progrediendo ad eandem unitatem, ex qua conficitur is numerus, redire oportet, ac denuo incipere.
3330 Atque boc dixit Vitr. ex Platonis ſententia, qui denarium pefectum numerum nuncupauit.
admodum ſenarius, cuius partes 1. 2. 3. quæ ſimul ſumptæ, ſenarium reddunt, pari ſorma. 28. numerus
perfectus eſt; nam eius partes ſunt 1. 2. 4. 7. 14. quarum ſumma 28. reddunt. Sed poſtquam de.
numeris perfectis ſermo eſt inſtitus, dicam eorum ortus, uires, proprietatesq́; . & ad faciliorem intelligen-
tiam diffinitiones aliquas numer or um adducam. Numeri quidam ſunt, qui pariter pares nominantur, quidam
uero, qui primi, & incompoſiti dicuntur. pariter pares numeri ſunt, qui cum eorum ſumma par ſit, uſque ad
unitatem in paria diuiduntur. Exempligratia 64. eſt numerus pariter par, & ipſa ſmma 64. par eſt, &
eius prima partitio par eſt. videlicet 32. Cuius item diuiſio par eſt. 16. enim eſt numerus par, dimidium
quoque 16. par eſt, ut pote octo, patiter quoque octonarij dimidium par 4. & quaternarij duo, cuius di-
1110 midium unitas. Ecce qua ratione ſexagintaquatuor est numerus pariter par. Sed numeri primi, & incompo-
ſiti ſunt, qui a ſola unitate numer antur, neque alium babent numerum, qui eos integre partiatur, cuiuſmodi
eſt ternarius numerus, quinarius item, & ſeptenarius, & buinſmodi. His poſitis perfectorum productio ponen-
da eſt. Collocato ordine ſuo pariter pares numeros, & eos collige; ſi perueneris in eam numeri ſummam, quæ
ſit numeri primi, & incompoſiti, & eam duxeris per præcedentem numerum, facies perfectum numerum. col-
locato igitur 1. 2. 4. 8. 16. 32. 64. Collige 1. & 2. reddentur tres, ducito tres numerum pri-
mum, & incompoſitum per duo numerum præcedentem, efficientur ſex. Senarius igitur erit perfectus nume-
rus. pari forma collige 1. 2. 4. reddentur ſeptem, qui numerus eſt primus, & incompoſitus, ducito ſeptem
per quatuor, reddes. 28. qui eſt ſecundus perfectus numerus. Collige item 1. 2. 4. 8. efficies quinde-
cim, is numerus non eſt primus, & incompoſitus, immo babet ſuas partes numerantes ſcilicet ternarium, vel
quinarium. quare ſequere ulterius 1. 2. 4. 8. 16. collige efficies 31. qui numerus primus, & incom-
2220 poſitus est. duc igitur 16. in 31. reddentur 496. numerus perfectus, & ita in alijs. nec mir ere in dena-
rio ſex. in centenario 28. in millenario 496. perfectos numeros, boc eſt tam paucos reperiri, quia rara
ſunt, quæ perfecta ſunt. Simili ratione in denis millibus perfectus eſt tantum 8128. perfectorum numerorum
proprietas eſt, ut terminante primo m ſenarium, ſecundus deſinit in octonarium, tertius in ſenarium, quartus
in octonarium, & nulla alia eſt perfectorum numerorum terminatio. Sed qua ratione ternarius, & denarius
numerus perfecti ſint appellati, nunc dicam. Ternarius numerus complectitur primo primas numerorum diſ-
ferentias, paritatem ſcilicet, & imparitatem, ſolusq́; conficitur ex ſumma præcedentium numerorum, nam
1. & 2. reddunt 3. concluditq́; principium, medium, & finem. bac de cauſa perfectus est numerus iudi-
catus. Denarius uero perfectus est dictus, quoniam tanquam forma omnes alios numeros includit, ultra de-
cem enim progrediendo ad eandem unitatem, ex qua conficitur is numerus, redire oportet, ac denuo incipere.
3330 Atque boc dixit Vitr. ex Platonis ſententia, qui denarium pefectum numerum nuncupauit.
Mathematici uero contra diſputantes, ea re perfectum eſſe dixerunt numerum, qui ſex
dicitur, quod is numerus habet partitiones eorum rationibus ſex numero conuenientes; ſic ſextantẽ,
unum@: trientem, duo: ſemiſſem, tria: beſſem, quem dimiron dicunt quatuor: quintarium, quem pen-
tamiron dicunt, quinque: perfectum ſex. {Eorum rationibus} idest ſecundum eorum Matbematicorum
rationes, qui uolunt eum eſſe perfectum numerum, qui ex ſumma eius partium redditur. ideo dixit Vitr. quod
is numerus babet partitiones corum rationibus, ſex numero conuenientes. cum igitur perfectum ſenarium di-
xerint, idem illi euenire uoluerunt, quod denario. nam cum unitatem ultra ſex adderent, ad eandem rationem
reuertebantur. Solebant antiqui rem integram omnem Aſſem nominare. eamq́; in ſuas partes diuidere, &
tanquàm felices Græcorum interpretes, maximè proprie res declarabant. Voluere igitur ſenarium perfectum
4440 eſſe, & quia integrum, & totum est quoddam, ideo eum Aſſem uocauere. qui cum partes; ſuas baberet, ex
eorum uocabulis, quales partes eſſent, declarabant. Vnitatem, quæ ſexta eius eſt pars, ſextantem nomina-
runt. 2. trientem, nam 2. tertia ſenarij, boc est Aßis pars eſt. Tria ſemiſſem, quaſi Aſſem dimidium uo
cauere. 4. beſſem, quoniam à toto duas aufert partes, græcè dimiron eadem ratione dicitur. 5. quinta-
rium latine, græce autẽ pentamiron nominatur. Sed ubi ad ſenarium peruentum est, boc eſt ad Aſſem, ſi quis
ultra progredi uelit, iam alterum aſſem duplicare incipit. ideo 12. diplaſiona Græci dicunt. Cum uero Vi-
tr. dixit, ſic ſextantem unum, non uult rationem reddere cur ſenarius numerus perfectus a Matbematicis di-
ctus eſt. nam ſupra eam point, dum dixit quod is numerus habet partitiones eorum rationibus ſex numero con
uenientes, nam ſumma partium eius numeri, totum integrum reddit. Sed oſtendere uult ſenarium ob prædi-
ctam rationem cum perfectus ſit, ſuas quoque partes habere a Matbematicis nominatas. Quod ſi quis ulterius
5550 progrediuelit, id illi eueniat, quod denario, qui ab alij perfectus est dictus; euenire ostenſum est. Alioquin
uana fuiſſet Matbematicorum obiectio in eos, qui denarium perfectum statuere, ſi ijdem Mathematici ſena-
rium ob eandem rationem perfectum eſſe uoluiſſent, qua denarius est ab alijs perfectus nominatus. ideo
ſequitur.
dicitur, quod is numerus habet partitiones eorum rationibus ſex numero conuenientes; ſic ſextantẽ,
unum@: trientem, duo: ſemiſſem, tria: beſſem, quem dimiron dicunt quatuor: quintarium, quem pen-
tamiron dicunt, quinque: perfectum ſex. {Eorum rationibus} idest ſecundum eorum Matbematicorum
rationes, qui uolunt eum eſſe perfectum numerum, qui ex ſumma eius partium redditur. ideo dixit Vitr. quod
is numerus babet partitiones corum rationibus, ſex numero conuenientes. cum igitur perfectum ſenarium di-
xerint, idem illi euenire uoluerunt, quod denario. nam cum unitatem ultra ſex adderent, ad eandem rationem
reuertebantur. Solebant antiqui rem integram omnem Aſſem nominare. eamq́; in ſuas partes diuidere, &
tanquàm felices Græcorum interpretes, maximè proprie res declarabant. Voluere igitur ſenarium perfectum
4440 eſſe, & quia integrum, & totum est quoddam, ideo eum Aſſem uocauere. qui cum partes; ſuas baberet, ex
eorum uocabulis, quales partes eſſent, declarabant. Vnitatem, quæ ſexta eius eſt pars, ſextantem nomina-
runt. 2. trientem, nam 2. tertia ſenarij, boc est Aßis pars eſt. Tria ſemiſſem, quaſi Aſſem dimidium uo
cauere. 4. beſſem, quoniam à toto duas aufert partes, græcè dimiron eadem ratione dicitur. 5. quinta-
rium latine, græce autẽ pentamiron nominatur. Sed ubi ad ſenarium peruentum est, boc eſt ad Aſſem, ſi quis
ultra progredi uelit, iam alterum aſſem duplicare incipit. ideo 12. diplaſiona Græci dicunt. Cum uero Vi-
tr. dixit, ſic ſextantem unum, non uult rationem reddere cur ſenarius numerus perfectus a Matbematicis di-
ctus eſt. nam ſupra eam point, dum dixit quod is numerus habet partitiones eorum rationibus ſex numero con
uenientes, nam ſumma partium eius numeri, totum integrum reddit. Sed oſtendere uult ſenarium ob prædi-
ctam rationem cum perfectus ſit, ſuas quoque partes habere a Matbematicis nominatas. Quod ſi quis ulterius
5550 progrediuelit, id illi eueniat, quod denario, qui ab alij perfectus est dictus; euenire ostenſum est. Alioquin
uana fuiſſet Matbematicorum obiectio in eos, qui denarium perfectum statuere, ſi ijdem Mathematici ſena-
rium ob eandem rationem perfectum eſſe uoluiſſent, qua denarius est ab alijs perfectus nominatus. ideo
ſequitur.
Cvm ad ſupputationcm creſcat ſupra ſex:
adiecto aſſe ephecton cum fact ſunt octo, quod eſt
tertia adiecta tertiarium, qui epitritos dicitur, dimidia adiecta cum facta ſunt nouem, ſeſquialterum
qui hemiolios appellatur, duabus partibus additis, & decuſsi facto, beſalterum, quem epidimiron uo-
citant, in undeeim numero, quod adiecti ſunt quinque, quintarium, quod epipentamiron. Duodecim
autem, quiex duobus ſimplicibus numeris eſt effectus diplaſrona.
tertia adiecta tertiarium, qui epitritos dicitur, dimidia adiecta cum facta ſunt nouem, ſeſquialterum
qui hemiolios appellatur, duabus partibus additis, & decuſsi facto, beſalterum, quem epidimiron uo-
citant, in undeeim numero, quod adiecti ſunt quinque, quintarium, quod epipentamiron. Duodecim
autem, quiex duobus ſimplicibus numeris eſt effectus diplaſrona.