305273NONVS.
illa h i.
quæ lineam a c, tangat, in ſigno, i, a quo ſigno cadat æquidiſtans ipſi a f, &
in ſignum d,
terminet, & ſit illa i d. His poſitis, ut facilius res explicetur, uocabimus lineas illas a b. f & , h i, d
c, primas æquidiſtantes, ſed lincas a f. g h. i d. ſecundas æquidiſtantes, ſimiliter duo erunt maiora
trigona, quorum primum erit a b c, cuius angulus b, rectus est. aliud uero trigonum est a f c, & il-
lud primum, hoc ſecundum trigonum appellabimus. in primo inerant trigona, quæ a primis æquidiſtantibus
fiunt, & ſunt g f c. i h e. c d e. & hæc quoniam æquis angulis conſtant,ut patet ex vigeſimanona
primi, proportione reſpondentia latera, habent, ut ex quarta ſexti elicitur. Similiter quoniam ſecunda trigona,
& ſecundis æquidistantibus lineis facta, æqualibus angulis conſtant, ſine dubio latera quoque habebunt mu
tua ratione comparabilia. Igitur quemadmodum in primis trigonis æquidistantibus proportione ſibi reſpon-
dent eæ lineæ, ita ut ſicuti ſe habet a e, ad e g, itaſe habent b e, ad e f. ita in ſecundis æquidistan-
1110 tibus,ut ſe habent a e, ad e g, ſic ſe habet f e, ad e h, & iterum quemadmodum in primis, ut ſe
habet f e. ad e h, ita g e, ad e i, ita in ſecundis parallelis, ut ſe habebit g e, ad e i, ita ſeha-
bebit b e, ad e d, ſunt igitur continuo proportionales a b, f g, h i, c d, quoniam ſicut eſt b c,
ad e f, ita eſt a b. ad f g, & ſicuti ſe habet f c, ad c h, ita ſe habet f g, ad h i, & uti ſe ha-
bet g e, ad e d, ita h i, ad c d. Propoſitis igitur duabus rectis a b, & c d, duas medias in-
uenimus ſcilicet f g, & h i, quod facere propoſitum fuit. Hæc Eratoſthenis demonstratio est, & licet
uelit ipſe lineas a b, & c d, rectas eſſe ſupra lineam b d, non tamen eſt dubitandum, quin eadem con-
cluſio colligatur quocunque modo utraque linea cadat in b d, modo ſimiles utraque faciat angulos, & ſi-
mili ſint ratione æquidis̃tantes. Quoniam res omnis in eo ſita est, quod ex his trigonorum angulos æquales ha
bentium,latera proportione ſibi reſpondent. Quareſiplures duabus medias inter duas datas a b, & c d,
2220 inuenire mens fuerit, eodem modo plures parallelas, ſiue ex primis, ſiue ex ſecundis formabimus. Organum
uerò quo demonſtrationis præhabitæ uſus haberi poſſit huiuſmodi fabrica struitur. Lamnam æream; uel li-
gneam tabellam ſume quadrangularem oblongam rectis angulis quadratam, ſitq; ea in exemplum a b d
c, ſi deformare duas medias ratione comparabiles duabus datis, uelimus,aliquot lamnellas ſuper eam opor-
tebit aptare hoc modo. Sume lamnellas tenues ex aliqua materia ſolida quadrangulares, unam ex ijs in media
tabula obfirmato ita, ut mouerinequeat, ſitq́; ea e f g h, & in ſignis e, & f, affixis habeatregulas,
ut circumuolui poſſin in ſuis axiculis. Eſto regula una e m, altera f n. Sed lamnella alia ſit k d e,
ita in maiori lamna collocata ut admoueri poſſit uerſus obfirmatam lamnellam e f g h, atque etiam ab ea
amoueri, ita ut latera ſemper habeat æquidiſtantia lateri f h, ſitq́ in ea etiam regula in ſigno k,quæitem
conuolui poſſit, & ſit illa k o, quæ cum alijsregulis ſcilicet e m, & f n, ita ponatur, ut omnes ſint pa-
3330 rallelæ, & earum communes ſectiones in lineis a g, f h, & l, ſigno, ſint in eademrecta m n l o, ſi-
militer a m, ſitæqualis d k. quoniam a m, uel minimo diſcrimineaccedit d k. Hæc, cum ita ſint ex-
pedita inter duas rectas a b, & c d, dantur duæ mediæ comparabiles ratione continua, quæſunt e n,
& f o, quod manifeſtum eſt ob ſupradictas rationes. Cæterum ſi ſorte duæ propoſitælineæ, quales ſunt ſ,
& t, quibus opus ſit medias comparabiles inuenire, non erunt æquales lineis in organo poſitis, quæſunt a
b, & e r. efficiatur ut quemadmodum ſe habet ſ, ad t, itaſe habeat a b, ad r d, efficietur autem
ſi lamella k d e, prore proprius lamellam obfirmatam admouebitur, uel retrocedet in pari ſemper, &
æquidis̃tanti laterum ratione. & quoniam ipſi a b. & r d, quæ ſunt in organo duæ mediæ compara-
biles inuentæ ſunt, conſequenter ipſi s. ipſi t. propoſitis, duæ erunt mediæ mediæ comparabiles inuentæ. quo
igitur maiori artificio elaboratum organum feceris, eo facilius duas inuenies medias proportione conti-
4440 nua reſpondentes, ideo capita mobilium lamnellarum in ſuos utrinque canales immittentur, ita ut per
lamnam decurrant leniter, & æquabiliter. & Quod ſi plures quàm duas medias inuenire quis uelit,
lamnellarum, & regularum additamento id commode faciet. animaduertendum autem oportere lon-
gas eſſe regulas, ut cum opus fuerit lamnellas abſcedere a media, regulæ ad ſectiones linearum prædi-
ctas pertingere poſſint, tangantq́; ſuperius organi latus regulæ omnes, e m, f x, r u, immo ( ut me-
lius dicam ) tam longæ ſint, quantum eſſet diagonia lamnellæ obfirmatæ e f g h. Atque hæc innentio fuit
Eratoſthenis. Sed ut facilior uſus inſrumenti appareat,nec ſolum inter duas duas,ſed inter duas plures compa-
rabiles inuenire poſſimus. Sint duærectæ a b. c d. incidant ambæ in rectam, & æquidiſtent,tantumq́
addatur lineæ c d. ut æqua ſit lineæ a b. cuius ſummum ſit e. Ab a, uſque ad e, ducatur linea,&
ita claudatur ſuperficies a b c e. Partiatur inde b c. in partes tres, quarum una ſit ubi f. ultra f ali-
5550 quanto amplius notetur g. ut a puncto b. ad g. ſit pluſquam tertia pars lineæ b c. ſimili ratione in li-
nea a c. notetur ſignum, quod ab a distet quantum g. ab ipſo b. et ſit illud h. nectatur g, cum
a, & h. & a. cum d. & g h. ſecet a d in i. ſimiliter ſecetur tantum de a b, quantum est à g.
ad i. & ſpatium illud ſit b k. ducaturq́ linea ab i ad k. donec tangat lineam g a. in l. Quo-
niam ergo ex trigeſiſma tertia primi elementoruma b. æquidiſtat g i h, & ex poſitione g i, & b k.
ſunt æquales, ſequitur b g. æquidiſtare i l. Præterea de lineis g c. & h c. auferantur æquales par-
tes duæ uerſus i l. & ſint illæ g m. & h n. iunganturq́; i m, & m n, ex præallegata propoſitione
g l. & m i. erunt æquidiſtantes, & eadem ratione g h, & m n. ſecet quoq; linea m n. lineam a
d. in o. & ſumatur de b k tantum,quantum eſt m o. & ſit pars illa b p. & ab o. uerſus p. du-
catur linea, donec tangat i m. in q. Si ergo linea m e, erit æqualis lineæ o q. bene erit. Sedſi m c.
6660
terminet, & ſit illa i d. His poſitis, ut facilius res explicetur, uocabimus lineas illas a b. f & , h i, d
c, primas æquidiſtantes, ſed lincas a f. g h. i d. ſecundas æquidiſtantes, ſimiliter duo erunt maiora
trigona, quorum primum erit a b c, cuius angulus b, rectus est. aliud uero trigonum est a f c, & il-
lud primum, hoc ſecundum trigonum appellabimus. in primo inerant trigona, quæ a primis æquidiſtantibus
fiunt, & ſunt g f c. i h e. c d e. & hæc quoniam æquis angulis conſtant,ut patet ex vigeſimanona
primi, proportione reſpondentia latera, habent, ut ex quarta ſexti elicitur. Similiter quoniam ſecunda trigona,
& ſecundis æquidistantibus lineis facta, æqualibus angulis conſtant, ſine dubio latera quoque habebunt mu
tua ratione comparabilia. Igitur quemadmodum in primis trigonis æquidistantibus proportione ſibi reſpon-
dent eæ lineæ, ita ut ſicuti ſe habet a e, ad e g, itaſe habent b e, ad e f. ita in ſecundis æquidistan-
1110 tibus,ut ſe habent a e, ad e g, ſic ſe habet f e, ad e h, & iterum quemadmodum in primis, ut ſe
habet f e. ad e h, ita g e, ad e i, ita in ſecundis parallelis, ut ſe habebit g e, ad e i, ita ſeha-
bebit b e, ad e d, ſunt igitur continuo proportionales a b, f g, h i, c d, quoniam ſicut eſt b c,
ad e f, ita eſt a b. ad f g, & ſicuti ſe habet f c, ad c h, ita ſe habet f g, ad h i, & uti ſe ha-
bet g e, ad e d, ita h i, ad c d. Propoſitis igitur duabus rectis a b, & c d, duas medias in-
uenimus ſcilicet f g, & h i, quod facere propoſitum fuit. Hæc Eratoſthenis demonstratio est, & licet
uelit ipſe lineas a b, & c d, rectas eſſe ſupra lineam b d, non tamen eſt dubitandum, quin eadem con-
cluſio colligatur quocunque modo utraque linea cadat in b d, modo ſimiles utraque faciat angulos, & ſi-
mili ſint ratione æquidis̃tantes. Quoniam res omnis in eo ſita est, quod ex his trigonorum angulos æquales ha
bentium,latera proportione ſibi reſpondent. Quareſiplures duabus medias inter duas datas a b, & c d,
2220 inuenire mens fuerit, eodem modo plures parallelas, ſiue ex primis, ſiue ex ſecundis formabimus. Organum
uerò quo demonſtrationis præhabitæ uſus haberi poſſit huiuſmodi fabrica struitur. Lamnam æream; uel li-
gneam tabellam ſume quadrangularem oblongam rectis angulis quadratam, ſitq; ea in exemplum a b d
c, ſi deformare duas medias ratione comparabiles duabus datis, uelimus,aliquot lamnellas ſuper eam opor-
tebit aptare hoc modo. Sume lamnellas tenues ex aliqua materia ſolida quadrangulares, unam ex ijs in media
tabula obfirmato ita, ut mouerinequeat, ſitq́; ea e f g h, & in ſignis e, & f, affixis habeatregulas,
ut circumuolui poſſin in ſuis axiculis. Eſto regula una e m, altera f n. Sed lamnella alia ſit k d e,
ita in maiori lamna collocata ut admoueri poſſit uerſus obfirmatam lamnellam e f g h, atque etiam ab ea
amoueri, ita ut latera ſemper habeat æquidiſtantia lateri f h, ſitq́ in ea etiam regula in ſigno k,quæitem
conuolui poſſit, & ſit illa k o, quæ cum alijsregulis ſcilicet e m, & f n, ita ponatur, ut omnes ſint pa-
3330 rallelæ, & earum communes ſectiones in lineis a g, f h, & l, ſigno, ſint in eademrecta m n l o, ſi-
militer a m, ſitæqualis d k. quoniam a m, uel minimo diſcrimineaccedit d k. Hæc, cum ita ſint ex-
pedita inter duas rectas a b, & c d, dantur duæ mediæ comparabiles ratione continua, quæſunt e n,
& f o, quod manifeſtum eſt ob ſupradictas rationes. Cæterum ſi ſorte duæ propoſitælineæ, quales ſunt ſ,
& t, quibus opus ſit medias comparabiles inuenire, non erunt æquales lineis in organo poſitis, quæſunt a
b, & e r. efficiatur ut quemadmodum ſe habet ſ, ad t, itaſe habeat a b, ad r d, efficietur autem
ſi lamella k d e, prore proprius lamellam obfirmatam admouebitur, uel retrocedet in pari ſemper, &
æquidis̃tanti laterum ratione. & quoniam ipſi a b. & r d, quæ ſunt in organo duæ mediæ compara-
biles inuentæ ſunt, conſequenter ipſi s. ipſi t. propoſitis, duæ erunt mediæ mediæ comparabiles inuentæ. quo
igitur maiori artificio elaboratum organum feceris, eo facilius duas inuenies medias proportione conti-
4440 nua reſpondentes, ideo capita mobilium lamnellarum in ſuos utrinque canales immittentur, ita ut per
lamnam decurrant leniter, & æquabiliter. & Quod ſi plures quàm duas medias inuenire quis uelit,
lamnellarum, & regularum additamento id commode faciet. animaduertendum autem oportere lon-
gas eſſe regulas, ut cum opus fuerit lamnellas abſcedere a media, regulæ ad ſectiones linearum prædi-
ctas pertingere poſſint, tangantq́; ſuperius organi latus regulæ omnes, e m, f x, r u, immo ( ut me-
lius dicam ) tam longæ ſint, quantum eſſet diagonia lamnellæ obfirmatæ e f g h. Atque hæc innentio fuit
Eratoſthenis. Sed ut facilior uſus inſrumenti appareat,nec ſolum inter duas duas,ſed inter duas plures compa-
rabiles inuenire poſſimus. Sint duærectæ a b. c d. incidant ambæ in rectam, & æquidiſtent,tantumq́
addatur lineæ c d. ut æqua ſit lineæ a b. cuius ſummum ſit e. Ab a, uſque ad e, ducatur linea,&
ita claudatur ſuperficies a b c e. Partiatur inde b c. in partes tres, quarum una ſit ubi f. ultra f ali-
5550 quanto amplius notetur g. ut a puncto b. ad g. ſit pluſquam tertia pars lineæ b c. ſimili ratione in li-
nea a c. notetur ſignum, quod ab a distet quantum g. ab ipſo b. et ſit illud h. nectatur g, cum
a, & h. & a. cum d. & g h. ſecet a d in i. ſimiliter ſecetur tantum de a b, quantum est à g.
ad i. & ſpatium illud ſit b k. ducaturq́ linea ab i ad k. donec tangat lineam g a. in l. Quo-
niam ergo ex trigeſiſma tertia primi elementoruma b. æquidiſtat g i h, & ex poſitione g i, & b k.
ſunt æquales, ſequitur b g. æquidiſtare i l. Præterea de lineis g c. & h c. auferantur æquales par-
tes duæ uerſus i l. & ſint illæ g m. & h n. iunganturq́; i m, & m n, ex præallegata propoſitione
g l. & m i. erunt æquidiſtantes, & eadem ratione g h, & m n. ſecet quoq; linea m n. lineam a
d. in o. & ſumatur de b k tantum,quantum eſt m o. & ſit pars illa b p. & ab o. uerſus p. du-
catur linea, donec tangat i m. in q. Si ergo linea m e, erit æqualis lineæ o q. bene erit. Sedſi m c.
6660