306274LIBER
erit minor, ergo b g.
iuſto maior ſumpta fuerit.
propterea b g, paulo minor ſumenda erit, &
eadem de-
ſcriptio erit reſumenda, & eò uſque tentando experiri oportebit, donec o q. æqualis fiat lmeæ m c. Esto
ergo m c æqualis o q. & m q. æquidistantes erunt ex poſitione,& ex trigeſima primi elementorum.
Demum a b. g i. m o. c d. erunt primæ æquidistantes, ſed a g. m i. c o. pos̃teriores: aio lineis
a b. & c d. medias eſſe comparabiles g i. & m o. Eſto igitur a d, & b c. productæ ad r, &
quoniam propter triangulorum ſimilitudinem,ut eſt a r. ad r i. in primis æquidiſtantibus, ita b r. ad
r g. & ut in ſecundis a r ad r i. ita g r. ad r m. & ut in primis g r. ad r m. ita i r. ad r
o, & in ſecundis,ut i r. ad r o. ita m r. ad r c. Sunt ergo continenter comparabiles b r. r g.
m r. r o. Sed ſub eadem proportione per quartam ſexti elementorum etiam eſt,ut ſicut a b. ad g i.
ita g i. ad m o. & m o. ad c d. Inter ergo duas datas rectas a b. & c d. inuentæ ſunt duæ
1110 mediæ continenter comparabiles,ut propoſitum fuit. Atque his ſimilibus rationibus quot libuerit medias in-
uenire poterimus. Vt igitur duas etiam medias inter duas rectas inueniamus, b f. erit tertia pars lineæ
b c. quoniam b g, excedit tertiam partem lineæ b c. aliquantum,& nunquam minor eſt, neque æqua-
lis lineæ b f. vt uero tres medias inueniamus b f. erit quarta pars b c. & b g, aliqnanto maior ip-
ſa b f. uelut quinta pars ipſius b c. atque hoc modo ipſx b c erit diuiſa una parte amplior, quà m ſunt
mediæ lineæ, quas quærimus inuenire, & ſemper una ex illis erit b f, & b g. aliquanto maior, quàm
b f. & propterea b f æ que ſumitur ac b c, ut facilius longitudo b c. coniectari poſſit. Accedamus
denique ad Architæ Tarentini inuentionem difficilem ſanè ac ſubtilem, adeo ut inſtrumento nullo exerceri
poſſe hactenus creditum ſit, cæterum. Antonius Maria Paccius uir doctus, & probus instrumentum eius rei,
& uſum ad me miſit, quale in ſubiectis deſcriptionibus oſtendam, ut amico gratias habeam. Primum au-
2220 tem demonstrationem ſecundum aliorum ſenſism apponam, deinde præ dictum inſtrumentum deſcribam. Pro-
ponantur duærectæ, quæ ſint a d, quidem maior, c, uero minor,inter eas duas medias comparabiles in-
uenire oportet. Sumatur ergo maior, ſcilicet a d. circum quam ducatur linea circmationis ita, ut ipſa a
d. fiat eius diameter, ac circinationis linea ſit a b d f. in eaq́; circinatione ex prima tertij elementorum
line a æ qualis ipſi c. aptetur, & ſit illa a b. quæ ultra circinationem producatur, uſq; ad ſignum p. quod
erit extremum lineæ contingentis circinationem in ſigno d. cuius alterum extremum ſit ubi ſignum o. ita ut
integra linea ſit p d o. cui æ quidiſtans protrahatur,quæ ſecet lineam a d. in ſigno e. Intelligatur po-
Stea hemicylindrium rectum ſupra dimidium circulum a b d, & deinceps imaginemur in parallelogramo
hemicylindri ſuper a d. deſcriptus ſemicirculus, qui tanquam parallelogramum hemicylindri. ad rectos
angulos eſt ipſius a b d f circuli deſcripti in plano. Is ſemicirculus ductus a ſigno d. inſignum b. im-
mobilis permanet in ſigno a. quod terminus eſt diametri a d. abſcindet in eius. circunductu eam ſuperficiem
3330 hemicylindri, & in ea quandam lineam deſcribet. præ terhæc ſiprima a d. linea trigonum a b d, circun-
ductum contrariam fecerit femicirculo motionem, conicam ſuperſiciem lineæ rectæ a p, deſcribet, quæſi
circunducatur iungetur in aliquo ſigno eius linea, quæ prius deſcripta fuit ex ductu ſemicirculi in ſuperficie
hemicylindrij. pari forma & b. deſcribet ſemicirculum in ſuperficie coni. ipſe tandem ſemicirculus a d e.
poſt motum ſuum collocetur in loco, ubi lineæ cadentes concurrunt, & trigonum, quod contra mouetur habeat
hanc poſitionem d l a, & ſignum in quo incidunt, ſit k. deſcribatur etiam per b. ſemicirculus b m f.
& commune ſegmentum eius, & circuli b d f a. ſit b f. inde aſigno k. adſuperficiem ſemcirculi b
d a. cadat perpendicularis, certum eſt quod in circuli ſuperficiem cadet, quoniam in ſuperficie circuli eiuſ-
dem erectum fuit hemicylindrium. Cadat igitur, & ſit k i. & linea, quæ a ſigno i. ad a. ſignum duci-
4440 tur, in ſigno h, iungatur cum linea b f. Sed quoniam uterque ſemicirculus ideſt d k a b. & b m f,
erectus est in ſubiecto plano circuli a b d f. Ideo commune eorum ſegmentum in h. est ad angulosre-
ctos in plano circuli a b d f. unde etiam ſupra b f. erecta eſtipſa m h. Igitur quod eſt ſub b h f.
ideſt ſub a h i. æ quale eſt illi, quod ab h m oritur. Ergo angulus a m i rectuseſt ob conuerſionem co-
rollarij octauæ propoſitionis libri ſexti, & trigonum a m i. Simile eſt utriſque trigonis m a h. & a k
d. & quoniam angulus d k a. per trigeſimam primam tertij elementorum rectus eſt, nam in ſemicirculo
poni ſubiectum fuit, & quemadmodum innotuit angulus a m i. rectus eſt, ideo per uigeſimam nonam pri-
mi d k. m i. ſunt æquidiſtantes, & per eandem propoſitionem k i. m k. ſunt æ quidistantes, quoniam
& per ea, quæ ſubiecimus, & per ea, quæ demonstrauimus, k i, & m k, ad perpendiculum cadunt in pla-
num circuli a b d f. ratione igitur comparabile eſt,ut ſit d a. ad a k, ita k a. ad a i. & ita i a.
ad a m. quoniam trigoni d a k, h a i, i m a. ſimiles ſunt, ex quarta ſexti elementorum, ergo con-
5550 ſequitur quatuor rectas lineas d a. a k. a i. a m. mutua ratione inter ſe eſſe comparatas. Est uero
a m æ qualis ipſi c. ex communi ſententia, quæ uni,& eidem ſunt æqua, inter ſe etiam æqua eſſe. quoniam
a m, ipſi a b. æ qualis eſt. Duabus igitur propoſitis rectis lineis duas medias comparatas inuenimus ſci-
licet a k. & a i. ut patet ex diagrammate V. inferius poſito. Nunc uero ad demonstratiunem & or-
ganum Paccij ueniamus. Ita ergo inquit ille. Sit A B D ſemicirculus in plano imaginemur hemicylin-
drum erectum ſuper A B D, ſemicirculum, & ſupra diametrum A D, alium ſemicir culum erectum ſta-
tuamus in hemicylindri parallelogrammo, ſemicirculus is circumactus,uerbi gratia a D, uerſus E. ma-
nente in A, ſigno extremo diametri A D. firmo, in circumactione ſecabit ſuperſiciem cylindri,& linea
ſuæ circumactionis circa eius ſuperficiem deſcribet quandam lineam, cuius lineationem inuenire oportet.
6660
ſcriptio erit reſumenda, & eò uſque tentando experiri oportebit, donec o q. æqualis fiat lmeæ m c. Esto
ergo m c æqualis o q. & m q. æquidistantes erunt ex poſitione,& ex trigeſima primi elementorum.
Demum a b. g i. m o. c d. erunt primæ æquidistantes, ſed a g. m i. c o. pos̃teriores: aio lineis
a b. & c d. medias eſſe comparabiles g i. & m o. Eſto igitur a d, & b c. productæ ad r, &
quoniam propter triangulorum ſimilitudinem,ut eſt a r. ad r i. in primis æquidiſtantibus, ita b r. ad
r g. & ut in ſecundis a r ad r i. ita g r. ad r m. & ut in primis g r. ad r m. ita i r. ad r
o, & in ſecundis,ut i r. ad r o. ita m r. ad r c. Sunt ergo continenter comparabiles b r. r g.
m r. r o. Sed ſub eadem proportione per quartam ſexti elementorum etiam eſt,ut ſicut a b. ad g i.
ita g i. ad m o. & m o. ad c d. Inter ergo duas datas rectas a b. & c d. inuentæ ſunt duæ
1110 mediæ continenter comparabiles,ut propoſitum fuit. Atque his ſimilibus rationibus quot libuerit medias in-
uenire poterimus. Vt igitur duas etiam medias inter duas rectas inueniamus, b f. erit tertia pars lineæ
b c. quoniam b g, excedit tertiam partem lineæ b c. aliquantum,& nunquam minor eſt, neque æqua-
lis lineæ b f. vt uero tres medias inueniamus b f. erit quarta pars b c. & b g, aliqnanto maior ip-
ſa b f. uelut quinta pars ipſius b c. atque hoc modo ipſx b c erit diuiſa una parte amplior, quà m ſunt
mediæ lineæ, quas quærimus inuenire, & ſemper una ex illis erit b f, & b g. aliquanto maior, quàm
b f. & propterea b f æ que ſumitur ac b c, ut facilius longitudo b c. coniectari poſſit. Accedamus
denique ad Architæ Tarentini inuentionem difficilem ſanè ac ſubtilem, adeo ut inſtrumento nullo exerceri
poſſe hactenus creditum ſit, cæterum. Antonius Maria Paccius uir doctus, & probus instrumentum eius rei,
& uſum ad me miſit, quale in ſubiectis deſcriptionibus oſtendam, ut amico gratias habeam. Primum au-
2220 tem demonstrationem ſecundum aliorum ſenſism apponam, deinde præ dictum inſtrumentum deſcribam. Pro-
ponantur duærectæ, quæ ſint a d, quidem maior, c, uero minor,inter eas duas medias comparabiles in-
uenire oportet. Sumatur ergo maior, ſcilicet a d. circum quam ducatur linea circmationis ita, ut ipſa a
d. fiat eius diameter, ac circinationis linea ſit a b d f. in eaq́; circinatione ex prima tertij elementorum
line a æ qualis ipſi c. aptetur, & ſit illa a b. quæ ultra circinationem producatur, uſq; ad ſignum p. quod
erit extremum lineæ contingentis circinationem in ſigno d. cuius alterum extremum ſit ubi ſignum o. ita ut
integra linea ſit p d o. cui æ quidiſtans protrahatur,quæ ſecet lineam a d. in ſigno e. Intelligatur po-
Stea hemicylindrium rectum ſupra dimidium circulum a b d, & deinceps imaginemur in parallelogramo
hemicylindri ſuper a d. deſcriptus ſemicirculus, qui tanquam parallelogramum hemicylindri. ad rectos
angulos eſt ipſius a b d f circuli deſcripti in plano. Is ſemicirculus ductus a ſigno d. inſignum b. im-
mobilis permanet in ſigno a. quod terminus eſt diametri a d. abſcindet in eius. circunductu eam ſuperficiem
3330 hemicylindri, & in ea quandam lineam deſcribet. præ terhæc ſiprima a d. linea trigonum a b d, circun-
ductum contrariam fecerit femicirculo motionem, conicam ſuperſiciem lineæ rectæ a p, deſcribet, quæſi
circunducatur iungetur in aliquo ſigno eius linea, quæ prius deſcripta fuit ex ductu ſemicirculi in ſuperficie
hemicylindrij. pari forma & b. deſcribet ſemicirculum in ſuperficie coni. ipſe tandem ſemicirculus a d e.
poſt motum ſuum collocetur in loco, ubi lineæ cadentes concurrunt, & trigonum, quod contra mouetur habeat
hanc poſitionem d l a, & ſignum in quo incidunt, ſit k. deſcribatur etiam per b. ſemicirculus b m f.
& commune ſegmentum eius, & circuli b d f a. ſit b f. inde aſigno k. adſuperficiem ſemcirculi b
d a. cadat perpendicularis, certum eſt quod in circuli ſuperficiem cadet, quoniam in ſuperficie circuli eiuſ-
dem erectum fuit hemicylindrium. Cadat igitur, & ſit k i. & linea, quæ a ſigno i. ad a. ſignum duci-
4440 tur, in ſigno h, iungatur cum linea b f. Sed quoniam uterque ſemicirculus ideſt d k a b. & b m f,
erectus est in ſubiecto plano circuli a b d f. Ideo commune eorum ſegmentum in h. est ad angulosre-
ctos in plano circuli a b d f. unde etiam ſupra b f. erecta eſtipſa m h. Igitur quod eſt ſub b h f.
ideſt ſub a h i. æ quale eſt illi, quod ab h m oritur. Ergo angulus a m i rectuseſt ob conuerſionem co-
rollarij octauæ propoſitionis libri ſexti, & trigonum a m i. Simile eſt utriſque trigonis m a h. & a k
d. & quoniam angulus d k a. per trigeſimam primam tertij elementorum rectus eſt, nam in ſemicirculo
poni ſubiectum fuit, & quemadmodum innotuit angulus a m i. rectus eſt, ideo per uigeſimam nonam pri-
mi d k. m i. ſunt æquidiſtantes, & per eandem propoſitionem k i. m k. ſunt æ quidistantes, quoniam
& per ea, quæ ſubiecimus, & per ea, quæ demonstrauimus, k i, & m k, ad perpendiculum cadunt in pla-
num circuli a b d f. ratione igitur comparabile eſt,ut ſit d a. ad a k, ita k a. ad a i. & ita i a.
ad a m. quoniam trigoni d a k, h a i, i m a. ſimiles ſunt, ex quarta ſexti elementorum, ergo con-
5550 ſequitur quatuor rectas lineas d a. a k. a i. a m. mutua ratione inter ſe eſſe comparatas. Est uero
a m æ qualis ipſi c. ex communi ſententia, quæ uni,& eidem ſunt æqua, inter ſe etiam æqua eſſe. quoniam
a m, ipſi a b. æ qualis eſt. Duabus igitur propoſitis rectis lineis duas medias comparatas inuenimus ſci-
licet a k. & a i. ut patet ex diagrammate V. inferius poſito. Nunc uero ad demonstratiunem & or-
ganum Paccij ueniamus. Ita ergo inquit ille. Sit A B D ſemicirculus in plano imaginemur hemicylin-
drum erectum ſuper A B D, ſemicirculum, & ſupra diametrum A D, alium ſemicir culum erectum ſta-
tuamus in hemicylindri parallelogrammo, ſemicirculus is circumactus,uerbi gratia a D, uerſus E. ma-
nente in A, ſigno extremo diametri A D. firmo, in circumactione ſecabit ſuperſiciem cylindri,& linea
ſuæ circumactionis circa eius ſuperficiem deſcribet quandam lineam, cuius lineationem inuenire oportet.
6660
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib