306274LIBER
erit minor, ergo b g.
iuſto maior ſumpta fuerit.
propterea b g, paulo minor ſumenda erit, &
eadem de-
ſcriptio erit reſumenda, & eò uſque tentando experiri oportebit, donec o q. æqualis fiat lmeæ m c. Esto
ergo m c æqualis o q. & m q. æquidistantes erunt ex poſitione,& ex trigeſima primi elementorum.
Demum a b. g i. m o. c d. erunt primæ æquidistantes, ſed a g. m i. c o. pos̃teriores: aio lineis
a b. & c d. medias eſſe comparabiles g i. & m o. Eſto igitur a d, & b c. productæ ad r, &
quoniam propter triangulorum ſimilitudinem,ut eſt a r. ad r i. in primis æquidiſtantibus, ita b r. ad
r g. & ut in ſecundis a r ad r i. ita g r. ad r m. & ut in primis g r. ad r m. ita i r. ad r
o, & in ſecundis,ut i r. ad r o. ita m r. ad r c. Sunt ergo continenter comparabiles b r. r g.
m r. r o. Sed ſub eadem proportione per quartam ſexti elementorum etiam eſt,ut ſicut a b. ad g i.
ita g i. ad m o. & m o. ad c d. Inter ergo duas datas rectas a b. & c d. inuentæ ſunt duæ
1110 mediæ continenter comparabiles,ut propoſitum fuit. Atque his ſimilibus rationibus quot libuerit medias in-
uenire poterimus. Vt igitur duas etiam medias inter duas rectas inueniamus, b f. erit tertia pars lineæ
b c. quoniam b g, excedit tertiam partem lineæ b c. aliquantum,& nunquam minor eſt, neque æqua-
lis lineæ b f. vt uero tres medias inueniamus b f. erit quarta pars b c. & b g, aliqnanto maior ip-
ſa b f. uelut quinta pars ipſius b c. atque hoc modo ipſx b c erit diuiſa una parte amplior, quà m ſunt
mediæ lineæ, quas quærimus inuenire, & ſemper una ex illis erit b f, & b g. aliquanto maior, quàm
b f. & propterea b f æ que ſumitur ac b c, ut facilius longitudo b c. coniectari poſſit. Accedamus
denique ad Architæ Tarentini inuentionem difficilem ſanè ac ſubtilem, adeo ut inſtrumento nullo exerceri
poſſe hactenus creditum ſit, cæterum. Antonius Maria Paccius uir doctus, & probus instrumentum eius rei,
& uſum ad me miſit, quale in ſubiectis deſcriptionibus oſtendam, ut amico gratias habeam. Primum au-
2220 tem demonstrationem ſecundum aliorum ſenſism apponam, deinde præ dictum inſtrumentum deſcribam. Pro-
ponantur duærectæ, quæ ſint a d, quidem maior, c, uero minor,inter eas duas medias comparabiles in-
uenire oportet. Sumatur ergo maior, ſcilicet a d. circum quam ducatur linea circmationis ita, ut ipſa a
d. fiat eius diameter, ac circinationis linea ſit a b d f. in eaq́; circinatione ex prima tertij elementorum
line a æ qualis ipſi c. aptetur, & ſit illa a b. quæ ultra circinationem producatur, uſq; ad ſignum p. quod
erit extremum lineæ contingentis circinationem in ſigno d. cuius alterum extremum ſit ubi ſignum o. ita ut
integra linea ſit p d o. cui æ quidiſtans protrahatur,quæ ſecet lineam a d. in ſigno e. Intelligatur po-
Stea hemicylindrium rectum ſupra dimidium circulum a b d, & deinceps imaginemur in parallelogramo
hemicylindri ſuper a d. deſcriptus ſemicirculus, qui tanquam parallelogramum hemicylindri. ad rectos
angulos eſt ipſius a b d f circuli deſcripti in plano. Is ſemicirculus ductus a ſigno d. inſignum b. im-
mobilis permanet in ſigno a. quod terminus eſt diametri a d. abſcindet in eius. circunductu eam ſuperficiem
3330 hemicylindri, & in ea quandam lineam deſcribet. præ terhæc ſiprima a d. linea trigonum a b d, circun-
ductum contrariam fecerit femicirculo motionem, conicam ſuperſiciem lineæ rectæ a p, deſcribet, quæſi
circunducatur iungetur in aliquo ſigno eius linea, quæ prius deſcripta fuit ex ductu ſemicirculi in ſuperficie
hemicylindrij. pari forma & b. deſcribet ſemicirculum in ſuperficie coni. ipſe tandem ſemicirculus a d e.
poſt motum ſuum collocetur in loco, ubi lineæ cadentes concurrunt, & trigonum, quod contra mouetur habeat
hanc poſitionem d l a, & ſignum in quo incidunt, ſit k. deſcribatur etiam per b. ſemicirculus b m f.
& commune ſegmentum eius, & circuli b d f a. ſit b f. inde aſigno k. adſuperficiem ſemcirculi b
d a. cadat perpendicularis, certum eſt quod in circuli ſuperficiem cadet, quoniam in ſuperficie circuli eiuſ-
dem erectum fuit hemicylindrium. Cadat igitur, & ſit k i. & linea, quæ a ſigno i. ad a. ſignum duci-
4440 tur, in ſigno h, iungatur cum linea b f. Sed quoniam uterque ſemicirculus ideſt d k a b. & b m f,
erectus est in ſubiecto plano circuli a b d f. Ideo commune eorum ſegmentum in h. est ad angulosre-
ctos in plano circuli a b d f. unde etiam ſupra b f. erecta eſtipſa m h. Igitur quod eſt ſub b h f.
ideſt ſub a h i. æ quale eſt illi, quod ab h m oritur. Ergo angulus a m i rectuseſt ob conuerſionem co-
rollarij octauæ propoſitionis libri ſexti, & trigonum a m i. Simile eſt utriſque trigonis m a h. & a k
d. & quoniam angulus d k a. per trigeſimam primam tertij elementorum rectus eſt, nam in ſemicirculo
poni ſubiectum fuit, & quemadmodum innotuit angulus a m i. rectus eſt, ideo per uigeſimam nonam pri-
mi d k. m i. ſunt æquidiſtantes, & per eandem propoſitionem k i. m k. ſunt æ quidistantes, quoniam
& per ea, quæ ſubiecimus, & per ea, quæ demonstrauimus, k i, & m k, ad perpendiculum cadunt in pla-
num circuli a b d f. ratione igitur comparabile eſt,ut ſit d a. ad a k, ita k a. ad a i. & ita i a.
ad a m. quoniam trigoni d a k, h a i, i m a. ſimiles ſunt, ex quarta ſexti elementorum, ergo con-
5550 ſequitur quatuor rectas lineas d a. a k. a i. a m. mutua ratione inter ſe eſſe comparatas. Est uero
a m æ qualis ipſi c. ex communi ſententia, quæ uni,& eidem ſunt æqua, inter ſe etiam æqua eſſe. quoniam
a m, ipſi a b. æ qualis eſt. Duabus igitur propoſitis rectis lineis duas medias comparatas inuenimus ſci-
licet a k. & a i. ut patet ex diagrammate V. inferius poſito. Nunc uero ad demonstratiunem & or-
ganum Paccij ueniamus. Ita ergo inquit ille. Sit A B D ſemicirculus in plano imaginemur hemicylin-
drum erectum ſuper A B D, ſemicirculum, & ſupra diametrum A D, alium ſemicir culum erectum ſta-
tuamus in hemicylindri parallelogrammo, ſemicirculus is circumactus,uerbi gratia a D, uerſus E. ma-
nente in A, ſigno extremo diametri A D. firmo, in circumactione ſecabit ſuperſiciem cylindri,& linea
ſuæ circumactionis circa eius ſuperficiem deſcribet quandam lineam, cuius lineationem inuenire oportet.
6660
ſcriptio erit reſumenda, & eò uſque tentando experiri oportebit, donec o q. æqualis fiat lmeæ m c. Esto
ergo m c æqualis o q. & m q. æquidistantes erunt ex poſitione,& ex trigeſima primi elementorum.
Demum a b. g i. m o. c d. erunt primæ æquidistantes, ſed a g. m i. c o. pos̃teriores: aio lineis
a b. & c d. medias eſſe comparabiles g i. & m o. Eſto igitur a d, & b c. productæ ad r, &
quoniam propter triangulorum ſimilitudinem,ut eſt a r. ad r i. in primis æquidiſtantibus, ita b r. ad
r g. & ut in ſecundis a r ad r i. ita g r. ad r m. & ut in primis g r. ad r m. ita i r. ad r
o, & in ſecundis,ut i r. ad r o. ita m r. ad r c. Sunt ergo continenter comparabiles b r. r g.
m r. r o. Sed ſub eadem proportione per quartam ſexti elementorum etiam eſt,ut ſicut a b. ad g i.
ita g i. ad m o. & m o. ad c d. Inter ergo duas datas rectas a b. & c d. inuentæ ſunt duæ
1110 mediæ continenter comparabiles,ut propoſitum fuit. Atque his ſimilibus rationibus quot libuerit medias in-
uenire poterimus. Vt igitur duas etiam medias inter duas rectas inueniamus, b f. erit tertia pars lineæ
b c. quoniam b g, excedit tertiam partem lineæ b c. aliquantum,& nunquam minor eſt, neque æqua-
lis lineæ b f. vt uero tres medias inueniamus b f. erit quarta pars b c. & b g, aliqnanto maior ip-
ſa b f. uelut quinta pars ipſius b c. atque hoc modo ipſx b c erit diuiſa una parte amplior, quà m ſunt
mediæ lineæ, quas quærimus inuenire, & ſemper una ex illis erit b f, & b g. aliquanto maior, quàm
b f. & propterea b f æ que ſumitur ac b c, ut facilius longitudo b c. coniectari poſſit. Accedamus
denique ad Architæ Tarentini inuentionem difficilem ſanè ac ſubtilem, adeo ut inſtrumento nullo exerceri
poſſe hactenus creditum ſit, cæterum. Antonius Maria Paccius uir doctus, & probus instrumentum eius rei,
& uſum ad me miſit, quale in ſubiectis deſcriptionibus oſtendam, ut amico gratias habeam. Primum au-
2220 tem demonstrationem ſecundum aliorum ſenſism apponam, deinde præ dictum inſtrumentum deſcribam. Pro-
ponantur duærectæ, quæ ſint a d, quidem maior, c, uero minor,inter eas duas medias comparabiles in-
uenire oportet. Sumatur ergo maior, ſcilicet a d. circum quam ducatur linea circmationis ita, ut ipſa a
d. fiat eius diameter, ac circinationis linea ſit a b d f. in eaq́; circinatione ex prima tertij elementorum
line a æ qualis ipſi c. aptetur, & ſit illa a b. quæ ultra circinationem producatur, uſq; ad ſignum p. quod
erit extremum lineæ contingentis circinationem in ſigno d. cuius alterum extremum ſit ubi ſignum o. ita ut
integra linea ſit p d o. cui æ quidiſtans protrahatur,quæ ſecet lineam a d. in ſigno e. Intelligatur po-
Stea hemicylindrium rectum ſupra dimidium circulum a b d, & deinceps imaginemur in parallelogramo
hemicylindri ſuper a d. deſcriptus ſemicirculus, qui tanquam parallelogramum hemicylindri. ad rectos
angulos eſt ipſius a b d f circuli deſcripti in plano. Is ſemicirculus ductus a ſigno d. inſignum b. im-
mobilis permanet in ſigno a. quod terminus eſt diametri a d. abſcindet in eius. circunductu eam ſuperficiem
3330 hemicylindri, & in ea quandam lineam deſcribet. præ terhæc ſiprima a d. linea trigonum a b d, circun-
ductum contrariam fecerit femicirculo motionem, conicam ſuperſiciem lineæ rectæ a p, deſcribet, quæſi
circunducatur iungetur in aliquo ſigno eius linea, quæ prius deſcripta fuit ex ductu ſemicirculi in ſuperficie
hemicylindrij. pari forma & b. deſcribet ſemicirculum in ſuperficie coni. ipſe tandem ſemicirculus a d e.
poſt motum ſuum collocetur in loco, ubi lineæ cadentes concurrunt, & trigonum, quod contra mouetur habeat
hanc poſitionem d l a, & ſignum in quo incidunt, ſit k. deſcribatur etiam per b. ſemicirculus b m f.
& commune ſegmentum eius, & circuli b d f a. ſit b f. inde aſigno k. adſuperficiem ſemcirculi b
d a. cadat perpendicularis, certum eſt quod in circuli ſuperficiem cadet, quoniam in ſuperficie circuli eiuſ-
dem erectum fuit hemicylindrium. Cadat igitur, & ſit k i. & linea, quæ a ſigno i. ad a. ſignum duci-
4440 tur, in ſigno h, iungatur cum linea b f. Sed quoniam uterque ſemicirculus ideſt d k a b. & b m f,
erectus est in ſubiecto plano circuli a b d f. Ideo commune eorum ſegmentum in h. est ad angulosre-
ctos in plano circuli a b d f. unde etiam ſupra b f. erecta eſtipſa m h. Igitur quod eſt ſub b h f.
ideſt ſub a h i. æ quale eſt illi, quod ab h m oritur. Ergo angulus a m i rectuseſt ob conuerſionem co-
rollarij octauæ propoſitionis libri ſexti, & trigonum a m i. Simile eſt utriſque trigonis m a h. & a k
d. & quoniam angulus d k a. per trigeſimam primam tertij elementorum rectus eſt, nam in ſemicirculo
poni ſubiectum fuit, & quemadmodum innotuit angulus a m i. rectus eſt, ideo per uigeſimam nonam pri-
mi d k. m i. ſunt æquidiſtantes, & per eandem propoſitionem k i. m k. ſunt æ quidistantes, quoniam
& per ea, quæ ſubiecimus, & per ea, quæ demonstrauimus, k i, & m k, ad perpendiculum cadunt in pla-
num circuli a b d f. ratione igitur comparabile eſt,ut ſit d a. ad a k, ita k a. ad a i. & ita i a.
ad a m. quoniam trigoni d a k, h a i, i m a. ſimiles ſunt, ex quarta ſexti elementorum, ergo con-
5550 ſequitur quatuor rectas lineas d a. a k. a i. a m. mutua ratione inter ſe eſſe comparatas. Est uero
a m æ qualis ipſi c. ex communi ſententia, quæ uni,& eidem ſunt æqua, inter ſe etiam æqua eſſe. quoniam
a m, ipſi a b. æ qualis eſt. Duabus igitur propoſitis rectis lineis duas medias comparatas inuenimus ſci-
licet a k. & a i. ut patet ex diagrammate V. inferius poſito. Nunc uero ad demonstratiunem & or-
ganum Paccij ueniamus. Ita ergo inquit ille. Sit A B D ſemicirculus in plano imaginemur hemicylin-
drum erectum ſuper A B D, ſemicirculum, & ſupra diametrum A D, alium ſemicir culum erectum ſta-
tuamus in hemicylindri parallelogrammo, ſemicirculus is circumactus,uerbi gratia a D, uerſus E. ma-
nente in A, ſigno extremo diametri A D. firmo, in circumactione ſecabit ſuperſiciem cylindri,& linea
ſuæ circumactionis circa eius ſuperficiem deſcribet quandam lineam, cuius lineationem inuenire oportet.
6660