1Reſta di dire con piu chiarezza, & facilità, come ſi debbia uſare queſto instrumento, cioè come
con eſſo ſi poſſa tra due linee dritte ritrouarne due altre o piu proportionate, ſecondo la mente di
Eratoſthene, & prima tra due due, & poi tra due piu proportionali. Siano due linee dritte, a b.
c d. cadino amendue ſopra una dritta in modo, che ſiano parallele. & tanto ſi aggiugna alla
linea c d, che ella ſia pari alla linea a b, il cui capo ſia e, & dallo a ſia tirata una linea
fin allo e. ſiche ſi faccia una ſuperficie quadrangulare. a b c. partiſcaſi poi la linea b c.
in tre parti, una dellequali ſia la doue è la f. & alquanto piu inanzi dal punto f ſia ſegna
to il punto. g. di modo, che dal b al g. ſia alquanto piu d'un terzo della linea b c. ſimil
mente nella linea a c. ſia ſegnato un punto tanto distante dallo a, quanto è il g. dal b. &
ſia quello h. & ſi leghi poi il g. con lo a. & con lo h. & lo a. con il d. & la g h,
tagli la a d nel punto. i. ſimilmente ſi tagli tanto della linea a b. quanto è dal g. allo
i. & ſia quello ſpacio b K, & dallo i al K. ſi tiri una linea fin'al toccamento della linea
g a. & ſia iui ſegnato l. & perche per la trenteſima terza del primo d'Euclide la linea a b.
è parallela alla linea g i h. & per lo preſupposto nostro le linee g i. & b h ſono eguali,
ne ſegue, che la linea b g, ſia parallela alla linea i l. Oltra di questo delle linee g c. &
h e. ſi leuino due parti eguali alla parte i l. & ſiano quelle g m. & h n. & ſiano con
giunte i m. & m n. per la allegata propoſitione g l, & m i ſaranno parallele. & ſimil
mente g h. & m n. Tagli anche la linea m n, la a d nel punto o. & ſia preſo tanto
della linea b K, quanto è m o. & ſia quella parte b p. & dal punto o. uerſo il punto
p. ſia tirata una linea, finche ella tocchi la linea. i m. nel punto. que ſe adunque la linea
m e ſarà eguale alla o que egli ſtarà bene. ma ſe la m c. ſarà minore, adunque la b g ſa
rà ſtata preſa maggiore del giusto. però biſognerà pigliare la b g alquanto minore; & ſarà
da ripigliare la iſteſſa deſcrittione, & tanto eſperimentare, che la parte o q ſia eguale alla
m c. ſia adunque la m c. eguale alla o que adunque ſaranno parallele c o. & m que
per lo preſuppoſto & per la trenteſima del primo de gli elementi. finalmente le a b. g i. mo.
c d. ſaranno le prime parallele. ma l' a g. m i. c o. le ſeconde. Dico che alle linee a b.
c d le di mezo proportionali ſaranno g i. & m o. ſiano adunque la a d & b c. tira
te in lungo, & cadino inſieme nel punto r. & perche per la ſimiglianza de i triangoli ſi como
è la a r. alla r i. nelle prime parallele coſi è b r ad r g. oltra di questo alle ſeconde pa
rallele, ſi come è la a r. alla r i. coſi la g r. alla r m. & nelle prime parallele ſi come è
la g r. alla r m. coſi la i r alla r o, & nelle ſeconde parallele come la i r alla r o.
coſi la m r. alla r c. ſono adunque continue proportionali b r. r g. m r. r o. Ma ſot
to la iſteſſa proportione anche è per la quarta del ſeſto de gli elementi, che ſi come è la a b
alla g i coſi la g i alla m o. & la m o alla c d. Tra due dunque dritte linee da to
a b. & c d. ſi ſono trouate due continue proportionali di mezo, come biſognaua di ſare. &
con ſimili ragioni potremo ritrouarne quante uorremo. & però per trouarne qui due di mezo pro
portionali la b f. ſarà un terzo della b c, per che la b g, è alquanto piu del terzo della
b c. & non mai minore, nè eguale alla b f. & per trouarne tre di mezo proportionali, la
b f ſarà un quarto della b c. & la b g alquanto maggiore della b f. & per trouarne
quattro la b f ſarà un quinto della b c, & la b g ſarà alquanto maggiore della b f. cioè
un quinto di eſſa b c, & coſi ſempre la b c. ſarà partita in una parte piu di quello, che ſono
le linee mezane, che trouar uorremo, & ſempre la b f ſarà una di quelle parti, & la b g. al
quanto maggiore che la b f. & però ſi piglia la parte b f. che ſia a punto tante fiate della
b c, accioche piu preſto ſi poſſa conietturare la grandezza della b c.
con eſſo ſi poſſa tra due linee dritte ritrouarne due altre o piu proportionate, ſecondo la mente di
Eratoſthene, & prima tra due due, & poi tra due piu proportionali. Siano due linee dritte, a b.
c d. cadino amendue ſopra una dritta in modo, che ſiano parallele. & tanto ſi aggiugna alla
linea c d, che ella ſia pari alla linea a b, il cui capo ſia e, & dallo a ſia tirata una linea
fin allo e. ſiche ſi faccia una ſuperficie quadrangulare. a b c. partiſcaſi poi la linea b c.
in tre parti, una dellequali ſia la doue è la f. & alquanto piu inanzi dal punto f ſia ſegna
to il punto. g. di modo, che dal b al g. ſia alquanto piu d'un terzo della linea b c. ſimil
mente nella linea a c. ſia ſegnato un punto tanto distante dallo a, quanto è il g. dal b. &
ſia quello h. & ſi leghi poi il g. con lo a. & con lo h. & lo a. con il d. & la g h,
tagli la a d nel punto. i. ſimilmente ſi tagli tanto della linea a b. quanto è dal g. allo
i. & ſia quello ſpacio b K, & dallo i al K. ſi tiri una linea fin'al toccamento della linea
g a. & ſia iui ſegnato l. & perche per la trenteſima terza del primo d'Euclide la linea a b.
è parallela alla linea g i h. & per lo preſupposto nostro le linee g i. & b h ſono eguali,
ne ſegue, che la linea b g, ſia parallela alla linea i l. Oltra di questo delle linee g c. &
h e. ſi leuino due parti eguali alla parte i l. & ſiano quelle g m. & h n. & ſiano con
giunte i m. & m n. per la allegata propoſitione g l, & m i ſaranno parallele. & ſimil
mente g h. & m n. Tagli anche la linea m n, la a d nel punto o. & ſia preſo tanto
della linea b K, quanto è m o. & ſia quella parte b p. & dal punto o. uerſo il punto
p. ſia tirata una linea, finche ella tocchi la linea. i m. nel punto. que ſe adunque la linea
m e ſarà eguale alla o que egli ſtarà bene. ma ſe la m c. ſarà minore, adunque la b g ſa
rà ſtata preſa maggiore del giusto. però biſognerà pigliare la b g alquanto minore; & ſarà
da ripigliare la iſteſſa deſcrittione, & tanto eſperimentare, che la parte o q ſia eguale alla
m c. ſia adunque la m c. eguale alla o que adunque ſaranno parallele c o. & m que
per lo preſuppoſto & per la trenteſima del primo de gli elementi. finalmente le a b. g i. mo.
c d. ſaranno le prime parallele. ma l' a g. m i. c o. le ſeconde. Dico che alle linee a b.
c d le di mezo proportionali ſaranno g i. & m o. ſiano adunque la a d & b c. tira
te in lungo, & cadino inſieme nel punto r. & perche per la ſimiglianza de i triangoli ſi como
è la a r. alla r i. nelle prime parallele coſi è b r ad r g. oltra di questo alle ſeconde pa
rallele, ſi come è la a r. alla r i. coſi la g r. alla r m. & nelle prime parallele ſi come è
la g r. alla r m. coſi la i r alla r o, & nelle ſeconde parallele come la i r alla r o.
coſi la m r. alla r c. ſono adunque continue proportionali b r. r g. m r. r o. Ma ſot
to la iſteſſa proportione anche è per la quarta del ſeſto de gli elementi, che ſi come è la a b
alla g i coſi la g i alla m o. & la m o alla c d. Tra due dunque dritte linee da to
a b. & c d. ſi ſono trouate due continue proportionali di mezo, come biſognaua di ſare. &
con ſimili ragioni potremo ritrouarne quante uorremo. & però per trouarne qui due di mezo pro
portionali la b f. ſarà un terzo della b c, per che la b g, è alquanto piu del terzo della
b c. & non mai minore, nè eguale alla b f. & per trouarne tre di mezo proportionali, la
b f ſarà un quarto della b c. & la b g alquanto maggiore della b f. & per trouarne
quattro la b f ſarà un quinto della b c, & la b g ſarà alquanto maggiore della b f. cioè
un quinto di eſſa b c, & coſi ſempre la b c. ſarà partita in una parte piu di quello, che ſono
le linee mezane, che trouar uorremo, & ſempre la b f ſarà una di quelle parti, & la b g. al
quanto maggiore che la b f. & però ſi piglia la parte b f. che ſia a punto tante fiate della
b c, accioche piu preſto ſi poſſa conietturare la grandezza della b c.
Quanto appartiene ad Archita dico, che la inuentione è difficile, & la dimostratione molto
ſottile, di modo che molti hanno negato poterſi ritrouare inſtrumento conforme a quella dimoſtra
tione. N oi con quella facilità, che potremo dimoſtreremo la propoſta, i fondamenti dellaquale
ſono ſparſi in molte propoſitioni, & Theoremi di Euclide, lequali propoſitioni è neceſſario ha-
ſottile, di modo che molti hanno negato poterſi ritrouare inſtrumento conforme a quella dimoſtra
tione. N oi con quella facilità, che potremo dimoſtreremo la propoſta, i fondamenti dellaquale
ſono ſparſi in molte propoſitioni, & Theoremi di Euclide, lequali propoſitioni è neceſſario ha-