1uerle per certe, perche troppo ſarebbe il ſciogliere ogni anello di ſi gran catena.
Date ci ſiano
due linee dritte, & ſia la a d maggiore, & la c. minore. Tra lequali biſogna ritrouarne due
di mezo proportionali. Prendiamo adunque la maggiore, d'intorno laquale ſi faccia un circo
lo a b d f, nel qual circolo per la prima del terzo d'Euclide, ſi accommoderà una linea egua
le alla linea c. che ſia a b. laquale ſi ſtenda tanto oltre il circolo, che peruenga al punto p.
il qual punto ſia lo estremo d'una linea, che deſcendendo tocchi il circolo nel punto d. & per
uenga al punto o. & ſia quella linea p d o. & a questa ne ſia tratta una egualmente diſtan
te, che tagli la linea a d nel punto c. intendiſi poi uno ſemicilindro poſto dritto ſopra il ſe
micircolo a b d. intendiamo poi ſopra il parallelogrammo del ſemicilindro ſopra a d. che
ſia deſcritto uno ſemicircolo, ilquale come uno parallelogrammo del ſemicilindro detto ſia ad an
goli dritti ſopra il piano del circolo a b d f. queſto ſemicircolo girato dal punto, d al pun
to b. ſtando fermo nel punto. a. che è termine del diametro a d, nel ſuo girare taglierà quel
la ſoperficie cilindrica, & deſcriuerà una certa linea. Oltra di queſto ſe ſtando ferma la linea
a d il triangolo a p d. moſſo farà un moto contrario al ſemicircolo, ſenza dubbio egli deſcri
uer à una ſoperficie conica della linea dritta a p. laquale nel girarſi ſi congiugne in qualche pun
to di quella linea, che poco auanti fu deſcritta mediante il mouimento del ſemicircolo nella ſoper
ficie del ſemicilindro. ſimilmente anche il b. circonſcriuerà un ſemicircolo nella ſoperficie del
cono. & finalmente il ſemicir colo a d e habbia il ſuo ſito dapoi, che egli ſarà moſſo la doue
cadendo concorreno le linee. & il triangolo, che ſi moue al contrario habbia il ſito d l a.
ſia il punto del detto concadimeuto k. ſia anche per b deſcritto un ſemicircolo b m f. &
la doue ſi taglia col ſemicircolo b d f a, ſia b f. indi dal punto k. a quel piano, che è del
ſemicircolo b d a, cada una perpendicolare: certoè, che caderà nella circonferenza del cir
colo, perche il cilindro fu drizzato nel piano dello iſteſſo circolo. Cada adunque, & ſia
k i. & quella linea, che uiene dallo i. nello a. ſia congiunta con b f, nel punto. h.
Ma perche l'uno & l'altro ſemicircolo d k a, & il b m f. è drizzato ſopra il piano del
circolo a b d f. però il loro taglio commune m h. ſtà ad angoli giuſti ſopra il piano del
circolo a b d f. adunque quello, che è ſotto b h f. cioè ſotto a h i. è eguale a quello,
che uiene da h m, adunque per la conuerſione del corolario della ottaua del ſeſto de gli ele
menti, l'angulo a m i. è dritto. & il triangolo a m i. è ſimile all'uno, & all'altro de i
triangoli m a h. & a K d. & perche lo angulo d K a. è giusto per la trigeſima prima
del terzo de gli elementi, perche per lo preſuppoſto egli è dentro nel ſemicirculo; & (ſi come è
stato fatto manifesto) lo angulo a m i. è giusto. adunque per la uigeſimanona del primo de
gli elementi d K. & m i. ſono parallele. & per la iſteſſa propoſitione k i, m h. ſono pa
rallele, percioche per lo preſupposto, & per quelle coſe, che ſono ſtate dimoſtrate K i. & m
b. ſono perpendiculari, & ad angoli giusti al piano del circolo a b d f. adunque egli è pro
portionale, che ſi come è d a. ad a K. coſi ſia K a. ad a i. & i a ad a m. perche
i triangoli da K. K a i. i m a. ſono ſimili per la quarta del ſesto de gli elementi. conſe
guentemente adunque le quattro linee d a. a K. a i. & a m. ſono in continua proportio
ne, & perche la a m. è eguale alla a h. la a m. ſarà eguale alla c. per la commune ſen
tentia, che dice, che le coſe, che ſono eguali ad una coſa, ſono eguali tra ſe. Date adunque
due dritte linee a d. & c. ſono state ritrouate due di mezo proportionali, che ſono a K.
& a i. il che biſognaua fare. Ma pare a me, che piu preſto ci ſerua lo inſtrumento, che la dimoſtra
tione, però imaginamo un circolo fatto nel piano come a b d f. & cheſopra ad anguli drit
ti ui cada uno ſemicilindro, il quale ſi poſi ſopra il diametro a c d. del detto circolo, & che
nel punto a. ſia dritto uno ſcmicircolo, che fermato nel detto punto a. ſi giri, & ſi entri &
eſca nel ſemicilindro ſecondo il taglio, che egli farebbe, & che di ſopr a ui ſia un triangolo, oue
ro una quarta di circolo, dalla quale cadano le linee ſecondo il biſogno, & coſi ſi farà lo instru
mento, come ho ueduto da quelli ualent'buomini da Roma. & perche quelli ſecondo le loro bel-
due linee dritte, & ſia la a d maggiore, & la c. minore. Tra lequali biſogna ritrouarne due
di mezo proportionali. Prendiamo adunque la maggiore, d'intorno laquale ſi faccia un circo
lo a b d f, nel qual circolo per la prima del terzo d'Euclide, ſi accommoderà una linea egua
le alla linea c. che ſia a b. laquale ſi ſtenda tanto oltre il circolo, che peruenga al punto p.
il qual punto ſia lo estremo d'una linea, che deſcendendo tocchi il circolo nel punto d. & per
uenga al punto o. & ſia quella linea p d o. & a questa ne ſia tratta una egualmente diſtan
te, che tagli la linea a d nel punto c. intendiſi poi uno ſemicilindro poſto dritto ſopra il ſe
micircolo a b d. intendiamo poi ſopra il parallelogrammo del ſemicilindro ſopra a d. che
ſia deſcritto uno ſemicircolo, ilquale come uno parallelogrammo del ſemicilindro detto ſia ad an
goli dritti ſopra il piano del circolo a b d f. queſto ſemicircolo girato dal punto, d al pun
to b. ſtando fermo nel punto. a. che è termine del diametro a d, nel ſuo girare taglierà quel
la ſoperficie cilindrica, & deſcriuerà una certa linea. Oltra di queſto ſe ſtando ferma la linea
a d il triangolo a p d. moſſo farà un moto contrario al ſemicircolo, ſenza dubbio egli deſcri
uer à una ſoperficie conica della linea dritta a p. laquale nel girarſi ſi congiugne in qualche pun
to di quella linea, che poco auanti fu deſcritta mediante il mouimento del ſemicircolo nella ſoper
ficie del ſemicilindro. ſimilmente anche il b. circonſcriuerà un ſemicircolo nella ſoperficie del
cono. & finalmente il ſemicir colo a d e habbia il ſuo ſito dapoi, che egli ſarà moſſo la doue
cadendo concorreno le linee. & il triangolo, che ſi moue al contrario habbia il ſito d l a.
ſia il punto del detto concadimeuto k. ſia anche per b deſcritto un ſemicircolo b m f. &
la doue ſi taglia col ſemicircolo b d f a, ſia b f. indi dal punto k. a quel piano, che è del
ſemicircolo b d a, cada una perpendicolare: certoè, che caderà nella circonferenza del cir
colo, perche il cilindro fu drizzato nel piano dello iſteſſo circolo. Cada adunque, & ſia
k i. & quella linea, che uiene dallo i. nello a. ſia congiunta con b f, nel punto. h.
Ma perche l'uno & l'altro ſemicircolo d k a, & il b m f. è drizzato ſopra il piano del
circolo a b d f. però il loro taglio commune m h. ſtà ad angoli giuſti ſopra il piano del
circolo a b d f. adunque quello, che è ſotto b h f. cioè ſotto a h i. è eguale a quello,
che uiene da h m, adunque per la conuerſione del corolario della ottaua del ſeſto de gli ele
menti, l'angulo a m i. è dritto. & il triangolo a m i. è ſimile all'uno, & all'altro de i
triangoli m a h. & a K d. & perche lo angulo d K a. è giusto per la trigeſima prima
del terzo de gli elementi, perche per lo preſuppoſto egli è dentro nel ſemicirculo; & (ſi come è
stato fatto manifesto) lo angulo a m i. è giusto. adunque per la uigeſimanona del primo de
gli elementi d K. & m i. ſono parallele. & per la iſteſſa propoſitione k i, m h. ſono pa
rallele, percioche per lo preſupposto, & per quelle coſe, che ſono ſtate dimoſtrate K i. & m
b. ſono perpendiculari, & ad angoli giusti al piano del circolo a b d f. adunque egli è pro
portionale, che ſi come è d a. ad a K. coſi ſia K a. ad a i. & i a ad a m. perche
i triangoli da K. K a i. i m a. ſono ſimili per la quarta del ſesto de gli elementi. conſe
guentemente adunque le quattro linee d a. a K. a i. & a m. ſono in continua proportio
ne, & perche la a m. è eguale alla a h. la a m. ſarà eguale alla c. per la commune ſen
tentia, che dice, che le coſe, che ſono eguali ad una coſa, ſono eguali tra ſe. Date adunque
due dritte linee a d. & c. ſono state ritrouate due di mezo proportionali, che ſono a K.
& a i. il che biſognaua fare. Ma pare a me, che piu preſto ci ſerua lo inſtrumento, che la dimoſtra
tione, però imaginamo un circolo fatto nel piano come a b d f. & cheſopra ad anguli drit
ti ui cada uno ſemicilindro, il quale ſi poſi ſopra il diametro a c d. del detto circolo, & che
nel punto a. ſia dritto uno ſcmicircolo, che fermato nel detto punto a. ſi giri, & ſi entri &
eſca nel ſemicilindro ſecondo il taglio, che egli farebbe, & che di ſopr a ui ſia un triangolo, oue
ro una quarta di circolo, dalla quale cadano le linee ſecondo il biſogno, & coſi ſi farà lo instru
mento, come ho ueduto da quelli ualent'buomini da Roma. & perche quelli ſecondo le loro bel-