1quello, che uiene da a h. perche egli è ſtato poſto, che la a h. ſia eguale alla c e. ma per
la ſententia commune, ſe dalle coſe eguali, ſi leueranno le eguali, il rimanente ſarà eguale.
Adunque quello, che ſi fa ſotto d l c. è eguale a quello, che ſi fa ſotto d K a. ma per la
quartadecima del ſeſto de gli elementi. I lati de i parallelogrammi, che ſono eguali, & hanno
anche gli anguli eguali, ſono reciprocamente proportionali. adunque ſi come ſi hala l d. alla
d k. coſi ſi ha la k a. alla c l. ma come d l. à d K. anche la a b. alla a K. &
la l c. alla c b. & adunque ſi come a b. ad a k. coſi a K. ad l c. & eſſa l c.
alla c b. Date adunque due dritte linee a b. & b c. ſono ſtate ritrouate due dimezo in
continua proportione, che ſono a k. & l c. come era l'intento di fare. Altri modi ſono de
gli antichi di ritrouare le due proportionali, come di Philopono, di Dione Bizantio, di Diocle,
di Pappo nelle mecaniche, di Poro, di Menechmo, i quali modi, ne i commentari di Archime
de ſi trouano, & il Vernero dottamente gli eſpone, i quali noi laſciamo per fuggir il tedio. Venl
remo adunque al modo di raddoppiare, & di moltiplicare i corpi, accioche l'uſo di coſi belle di
moſtrationi, & di tanti ſtrumenti ci ſia manifeſto.
la ſententia commune, ſe dalle coſe eguali, ſi leueranno le eguali, il rimanente ſarà eguale.
Adunque quello, che ſi fa ſotto d l c. è eguale a quello, che ſi fa ſotto d K a. ma per la
quartadecima del ſeſto de gli elementi. I lati de i parallelogrammi, che ſono eguali, & hanno
anche gli anguli eguali, ſono reciprocamente proportionali. adunque ſi come ſi hala l d. alla
d k. coſi ſi ha la k a. alla c l. ma come d l. à d K. anche la a b. alla a K. &
la l c. alla c b. & adunque ſi come a b. ad a k. coſi a K. ad l c. & eſſa l c.
alla c b. Date adunque due dritte linee a b. & b c. ſono ſtate ritrouate due dimezo in
continua proportione, che ſono a k. & l c. come era l'intento di fare. Altri modi ſono de
gli antichi di ritrouare le due proportionali, come di Philopono, di Dione Bizantio, di Diocle,
di Pappo nelle mecaniche, di Poro, di Menechmo, i quali modi, ne i commentari di Archime
de ſi trouano, & il Vernero dottamente gli eſpone, i quali noi laſciamo per fuggir il tedio. Venl
remo adunque al modo di raddoppiare, & di moltiplicare i corpi, accioche l'uſo di coſi belle di
moſtrationi, & di tanti ſtrumenti ci ſia manifeſto.
Io uoglio adunque ad un proposto ſodo ſotto una data proportione farne un'altro ſimile.
ſia
dunque il proposto ſodo a. Io uoglio farne uno, che habbia quella proportione con eſſo, che ha la li
nea b. alla linea c. prendaſi una linea eguale ad uno lato del propoſto ſodo, & ſia quella d.
& come ſi ha la b. alla c. con la iſteſſa ragione ſi riferiſca la d. alla e. ſia doppia, o tripla
come ſi uoglia. & ſecondo alcuna delle ſoprapoſte dimoſtrationi, trouinſi due di mezo in
continua proportione, & ſiano quelle f. & g. dapoi da alcuna dritta linea eguale alla f.
per la uenteſima ſettima dell'undecimo de gli elementi ſi faccia un ſodo, & quello ſia h. ſimile,
& ſimilmente poſto, al propoſto ſodo a. & perche per la trenteſima terza dello iſteſſo libro,
ouero per lo corollario della iſteſſa propoſitione, Se ſaranno quattro dritte linee proportionali,
ſi come ſi ha la prima alla quarta, coſi egli ſi ha il ſodo, che uiene dalla prima, al ſodo, che i ſi
fa della ſeconda ſimile, & ſimilmente deſcritto. La ragione adunque del ſodo a. al ſimigliante
ſodo h. è come d. ad e. ma per la ſuppoſitione la d. alla e. ha la ragione, che ha la b.
alla c. dato adunque il ſodo a. ſotto la data ragione della b. alla c. è ſtato formato con ſi
migliante ſodo h. come era l'intento. Ma perche alcuna fiata egli biſogna mutare, & ridurre
un ſodo in un'altro, & proportionare piu corpi, però ſe uorremo fare un cubo eguale ad un dato
parallelipedo ſi farà in queſto modo. Sia dato un ſodo parallelipedo a b c d. la cui larghez
za ſia a b. l'altezza b c. la lunghezza c d. gia biſogna al ſodo a b c d. ponere un cu
bo eguale. Trouiſi adunque per l'ultima del ſecondo de gli elementi il lato quadrato del piano
a b c. cioè una linea dritta, il cui quadrato ſia eguale al piano a b c. la qual linea dritta
ſia e. dapoi col mezo d'alcuna delle precedenti dimoſtrationi tra la e. & la c d. trouinſi due
proportionali, che ſiano f. & g. dico che'l cubo della dritta linea f. ſarà eguale al dato pa
rallelipedo a b c d. imperoche per lo corolario della decima nona del ſeſto de gli elementi, il
quadrato fatto dalla f. al quadrato fatto dalla e. è come il quadrato fatto dalla c d. al qua
drato fatto dalla f. & perche per la trenteſima quarta dello undecimo de gli elementi, i ſodi
parallelipedi, delle quali le baſe ſono reciproche di altezze ſono eguali, il cubo adunque fatto
dalla f. è eguale al dato ſodo parallelipedo a b c d. Da queſto ne naſce, che nelle colonne,
che hanno lati, delle quali gli oppoſti piani ſono paralleli, & altri piani parallelogrammi per la
ſopradetta ragione facilmente ſi poſſono conuertire in cubi. perche uno parallelipedo, che ha per
baſa uno quadrato eguale ad una baſa laterata, & è di eguale altezza alla colonna, è eguale al
la iſteſſa colonna. Egli ſi dimoſtra anche, come ſi poſſa fare eguale ad un dato cubo ſotto una da
ta altezza, un ſodo parallelipedo. Sia la data altezza la dritta linea a. & il dato cubo b.
gia biſogna ſotto l'altezza a. alzare un parallelipedo, che ſia eguale al dato cubo b. ſia la
c. eguale ad un lato del cubo b. & per la undecima del ſeſto de gli elementi ſia la meza propor
tionale e. Dico adunque, che il parallelipedo la cui baſe ſia eguale al quadrato fatto dalla e.
dunque il proposto ſodo a. Io uoglio farne uno, che habbia quella proportione con eſſo, che ha la li
nea b. alla linea c. prendaſi una linea eguale ad uno lato del propoſto ſodo, & ſia quella d.
& come ſi ha la b. alla c. con la iſteſſa ragione ſi riferiſca la d. alla e. ſia doppia, o tripla
come ſi uoglia. & ſecondo alcuna delle ſoprapoſte dimoſtrationi, trouinſi due di mezo in
continua proportione, & ſiano quelle f. & g. dapoi da alcuna dritta linea eguale alla f.
per la uenteſima ſettima dell'undecimo de gli elementi ſi faccia un ſodo, & quello ſia h. ſimile,
& ſimilmente poſto, al propoſto ſodo a. & perche per la trenteſima terza dello iſteſſo libro,
ouero per lo corollario della iſteſſa propoſitione, Se ſaranno quattro dritte linee proportionali,
ſi come ſi ha la prima alla quarta, coſi egli ſi ha il ſodo, che uiene dalla prima, al ſodo, che i ſi
fa della ſeconda ſimile, & ſimilmente deſcritto. La ragione adunque del ſodo a. al ſimigliante
ſodo h. è come d. ad e. ma per la ſuppoſitione la d. alla e. ha la ragione, che ha la b.
alla c. dato adunque il ſodo a. ſotto la data ragione della b. alla c. è ſtato formato con ſi
migliante ſodo h. come era l'intento. Ma perche alcuna fiata egli biſogna mutare, & ridurre
un ſodo in un'altro, & proportionare piu corpi, però ſe uorremo fare un cubo eguale ad un dato
parallelipedo ſi farà in queſto modo. Sia dato un ſodo parallelipedo a b c d. la cui larghez
za ſia a b. l'altezza b c. la lunghezza c d. gia biſogna al ſodo a b c d. ponere un cu
bo eguale. Trouiſi adunque per l'ultima del ſecondo de gli elementi il lato quadrato del piano
a b c. cioè una linea dritta, il cui quadrato ſia eguale al piano a b c. la qual linea dritta
ſia e. dapoi col mezo d'alcuna delle precedenti dimoſtrationi tra la e. & la c d. trouinſi due
proportionali, che ſiano f. & g. dico che'l cubo della dritta linea f. ſarà eguale al dato pa
rallelipedo a b c d. imperoche per lo corolario della decima nona del ſeſto de gli elementi, il
quadrato fatto dalla f. al quadrato fatto dalla e. è come il quadrato fatto dalla c d. al qua
drato fatto dalla f. & perche per la trenteſima quarta dello undecimo de gli elementi, i ſodi
parallelipedi, delle quali le baſe ſono reciproche di altezze ſono eguali, il cubo adunque fatto
dalla f. è eguale al dato ſodo parallelipedo a b c d. Da queſto ne naſce, che nelle colonne,
che hanno lati, delle quali gli oppoſti piani ſono paralleli, & altri piani parallelogrammi per la
ſopradetta ragione facilmente ſi poſſono conuertire in cubi. perche uno parallelipedo, che ha per
baſa uno quadrato eguale ad una baſa laterata, & è di eguale altezza alla colonna, è eguale al
la iſteſſa colonna. Egli ſi dimoſtra anche, come ſi poſſa fare eguale ad un dato cubo ſotto una da
ta altezza, un ſodo parallelipedo. Sia la data altezza la dritta linea a. & il dato cubo b.
gia biſogna ſotto l'altezza a. alzare un parallelipedo, che ſia eguale al dato cubo b. ſia la
c. eguale ad un lato del cubo b. & per la undecima del ſeſto de gli elementi ſia la meza propor
tionale e. Dico adunque, che il parallelipedo la cui baſe ſia eguale al quadrato fatto dalla e.
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