6961TERZO.
tutti ſono ſtati preſi.
lequal coſe manifeſte ſono nclla ſottoſcritta tauola, doue ſono cinque compartimenti, nel primo de i quali ė la compara-
tione del a. à gli altri termini, & de gli altri termini all’a. Nel ſecondo é la comparatione del b. à gli altri, & de gli altri al b. nel terzo è
la comparatione del c. nel quarto del d. nel quinto del e. à gli altri, et de gli altri à quelli, perche ſono di ciaſcun di due termini due ſpatij. come
dal a. al b. uno, & l’altro dal b. all’a. & coſi de gli altri, perche adunque eran ſei termini, rimosſi due, che faceuano lo ſpatio compoſto,
i reſtanti ſer anno quattro, de quali ne ſeranno uentiquattro ordini, che fanno ſolamente dodici ſpatij, & perche queſto chiaramente s’intendi,
11
dritta \\ a.a.a.a.a. \\ b.c.d.e.f. # conuerſa \\ b.c.d.e.f. \\ a.a.a.a.a.
## Primo ordine dieci.
dritta \\ b.b.b.b. \\ c.d.e.f. # conuerſa \\ c.d.e.f. \\ b.b.b.b.
## Secondo ordine otto.
dritta \\ c.c.c. \\ d. e.f. # conuerſa \\ d.e.f. \\ c.c.c.
## Terzo ordine ſei.
dritta \\ d. d. \\ c. f. # conuerſa \\ e. f. \\ d. d.
## Quarto ordine quattro.
dritta \\ e. \\ f. # conuerſa \\ f. \\ e.
## Quinto ordine due.
22
13 # c. d. \\ e. f. \\ Primo # d. c. \\ e. f. \\ Settimo # 19
14 # c. d. \\ f. e. \\ Secondo # d. c. \\ f. e. \\ Ottauo # 20
15 # c. e. \\ d. f. \\ Terzo # e. c. \\ d. f. \\ Nono # 21
16 # c. e. \\ f. d. \\ Quarto # e. c. \\ f. d. \\ Decimo # 22
17 # c. f. \\ d. e. \\ Quinto # f. c. \\ d. e. \\ Vndecimo # 23
18 # e. f. \\ e. d. \\ Seſto # f. e. \\ c. d. \\ duodecimo # 24
ſian rimosſi queſti termini a. & b. che fanno la proportione di a. a
b. & la conuerſa del b al a. reſteranno quattro termini c. d. e. f. de
i quali ſeranno uentiquattro ordini. il numero posto fuori della
tauola dimoſtra due ordini, che fanno un ſolo interuallo, come il
numero quinario, che è poſto dentro la tauola dinota, che quel-
3310 l’ ordine à cui è preposto il decimo ſettimo non compone ſpatio di
uerſo da quello, che compone il quinto, perche ſi compone la
iſteſſa proportione di quella che è tra’l d, & l’e. & il c & lo f. di-
notata per lo decimo ſettimo modo, & di quella che è tra’l c &
lo f. & tra’l d & l’e. laqual pretende il quinto. Adunque per li
numeri eſtrinſeci ſi dinota, che queſti ordini quanto alla compoſi
tione delle proportioni ſono geminati, cio è il terzo decimo, il
quartodecimo, il quintodecimo, & coſi ſeguitando fin al uente-
ſimo quarto, ilquale ancho ui s’include. La proportione adunque
che è tra a. & b, & la ſua conuerſa trab. & a. ſi può intendere
4420 che ſia composta di dodici proportioni tra quattro termini c. d. e.
f. & coſi ciaſcuna delle predette. A dunque eſſendone trenta, che
ſi poſſono componer tutte le combinationi ſeranno trenta uolte
dodici, che fanno trecento ſeſſanta. Ma di tutte queſte poſto che
la proportione che è tra l’a & il b, composta ſia delle proportio
ni che ſono tra’l c el d. & l’e el’f, ſi dimoſtrino che ſolo trenta ſei
ſono utili, ma le altre non tenere. & ci potra baſtare di eſpo-
nerne quindeci nella tauola, eſſendcne quindeci di quelle conuer-
ſe, & noi per la quarta propoſitione dimoſtrato hauemo, che
ogni conuerſa proportione, ſi fa dalle conuer ſe di quelle proportioni, delle quali è composta la principale. come ſe la proportione, che è tra l’a
5530 e’l b. è compoſta dalle proportioni che ſono tra’l c. e’l d. & tra l’e & lo f. ancho la conuerſa, cioè la proportione, che è tra’lb, & l’a, ſerà compo
ſta dalle proportioni del d al c. & del f. all’e. & però eſposte quindeci di quelle, le altre quindeci ci ſaranno paleſi.
tione del a. à gli altri termini, & de gli altri termini all’a. Nel ſecondo é la comparatione del b. à gli altri, & de gli altri al b. nel terzo è
la comparatione del c. nel quarto del d. nel quinto del e. à gli altri, et de gli altri à quelli, perche ſono di ciaſcun di due termini due ſpatij. come
dal a. al b. uno, & l’altro dal b. all’a. & coſi de gli altri, perche adunque eran ſei termini, rimosſi due, che faceuano lo ſpatio compoſto,
i reſtanti ſer anno quattro, de quali ne ſeranno uentiquattro ordini, che fanno ſolamente dodici ſpatij, & perche queſto chiaramente s’intendi,
11
dritta \\ a.a.a.a.a. \\ b.c.d.e.f. # conuerſa \\ b.c.d.e.f. \\ a.a.a.a.a.
## Primo ordine dieci.
dritta \\ b.b.b.b. \\ c.d.e.f. # conuerſa \\ c.d.e.f. \\ b.b.b.b.
## Secondo ordine otto.
dritta \\ c.c.c. \\ d. e.f. # conuerſa \\ d.e.f. \\ c.c.c.
## Terzo ordine ſei.
dritta \\ d. d. \\ c. f. # conuerſa \\ e. f. \\ d. d.
## Quarto ordine quattro.
dritta \\ e. \\ f. # conuerſa \\ f. \\ e.
## Quinto ordine due.
22
13 # c. d. \\ e. f. \\ Primo # d. c. \\ e. f. \\ Settimo # 19
14 # c. d. \\ f. e. \\ Secondo # d. c. \\ f. e. \\ Ottauo # 20
15 # c. e. \\ d. f. \\ Terzo # e. c. \\ d. f. \\ Nono # 21
16 # c. e. \\ f. d. \\ Quarto # e. c. \\ f. d. \\ Decimo # 22
17 # c. f. \\ d. e. \\ Quinto # f. c. \\ d. e. \\ Vndecimo # 23
18 # e. f. \\ e. d. \\ Seſto # f. e. \\ c. d. \\ duodecimo # 24
ſian rimosſi queſti termini a. & b. che fanno la proportione di a. a
b. & la conuerſa del b al a. reſteranno quattro termini c. d. e. f. de
i quali ſeranno uentiquattro ordini. il numero posto fuori della
tauola dimoſtra due ordini, che fanno un ſolo interuallo, come il
numero quinario, che è poſto dentro la tauola dinota, che quel-
3310 l’ ordine à cui è preposto il decimo ſettimo non compone ſpatio di
uerſo da quello, che compone il quinto, perche ſi compone la
iſteſſa proportione di quella che è tra’l d, & l’e. & il c & lo f. di-
notata per lo decimo ſettimo modo, & di quella che è tra’l c &
lo f. & tra’l d & l’e. laqual pretende il quinto. Adunque per li
numeri eſtrinſeci ſi dinota, che queſti ordini quanto alla compoſi
tione delle proportioni ſono geminati, cio è il terzo decimo, il
quartodecimo, il quintodecimo, & coſi ſeguitando fin al uente-
ſimo quarto, ilquale ancho ui s’include. La proportione adunque
che è tra a. & b, & la ſua conuerſa trab. & a. ſi può intendere
4420 che ſia composta di dodici proportioni tra quattro termini c. d. e.
f. & coſi ciaſcuna delle predette. A dunque eſſendone trenta, che
ſi poſſono componer tutte le combinationi ſeranno trenta uolte
dodici, che fanno trecento ſeſſanta. Ma di tutte queſte poſto che
la proportione che è tra l’a & il b, composta ſia delle proportio
ni che ſono tra’l c el d. & l’e el’f, ſi dimoſtrino che ſolo trenta ſei
ſono utili, ma le altre non tenere. & ci potra baſtare di eſpo-
nerne quindeci nella tauola, eſſendcne quindeci di quelle conuer-
ſe, & noi per la quarta propoſitione dimoſtrato hauemo, che
ogni conuerſa proportione, ſi fa dalle conuer ſe di quelle proportioni, delle quali è composta la principale. come ſe la proportione, che è tra l’a
5530 e’l b. è compoſta dalle proportioni che ſono tra’l c. e’l d. & tra l’e & lo f. ancho la conuerſa, cioè la proportione, che è tra’lb, & l’a, ſerà compo
ſta dalle proportioni del d al c. & del f. all’e. & però eſposte quindeci di quelle, le altre quindeci ci ſaranno paleſi.
Eſponeremo adunque le quindeci poste nella tauola, dellequali noue ſeranno di necesſità composte dì
66
Prima. # a. b. \\ compoſta
Seconda. # a. c. \\ compoſta
Terza. # a. d.
Quarta. # a. e. \\ compoſta
Quinta. # a. f.
Sesta. # b. c.
Settima. # b. d. \\ compoſta
Ottaua. # b. e
Nona. # b. f. \\ compoſta
Decima. # c. d. \\ compoſta
Vndecima. # c. e.
Duodecima. # c. f. \\ compoſta
Terzadecima. # d. e. \\ compoſta
Quartadecima. \\ Quintadecima. # d. f. \\ e. f. \\ compoſta
due proportioni tra il reſtante di quattro termini, ma le altre ſei non di necesſità ſi compongono,
& quella, che ſi compone per la tauola è manifeſtà, come è chiara ancho quella, che non ſi compo
ne. Ogni proportione adunque che ſi compone à due modi ſolamente ſi compone, cioè dalla propor-
tione del terzo al quarto, & del quinto al ſeſto, & ſimilmente dalla proportione del terzo al ſe-
sto, & del quinto al quarto. Per ilche eſſendone noue composte, ſi fanno dieciotto compoſitioni,
& altretante delle loro conuerſe. Trentaſei adunque ſeranno i modi utili. Ma quelle, che non ſi
compongono ſono ſei, & le loro conuerſe ſei, però dodici ſono inutili. Tutti i modi adunque ſi utili
7740 come inutili ſono quaranta otto.
66
Prima. # a. b. \\ compoſta
Seconda. # a. c. \\ compoſta
Terza. # a. d.
Quarta. # a. e. \\ compoſta
Quinta. # a. f.
Sesta. # b. c.
Settima. # b. d. \\ compoſta
Ottaua. # b. e
Nona. # b. f. \\ compoſta
Decima. # c. d. \\ compoſta
Vndecima. # c. e.
Duodecima. # c. f. \\ compoſta
Terzadecima. # d. e. \\ compoſta
Quartadecima. \\ Quintadecima. # d. f. \\ e. f. \\ compoſta
due proportioni tra il reſtante di quattro termini, ma le altre ſei non di necesſità ſi compongono,
& quella, che ſi compone per la tauola è manifeſtà, come è chiara ancho quella, che non ſi compo
ne. Ogni proportione adunque che ſi compone à due modi ſolamente ſi compone, cioè dalla propor-
tione del terzo al quarto, & del quinto al ſeſto, & ſimilmente dalla proportione del terzo al ſe-
sto, & del quinto al quarto. Per ilche eſſendone noue composte, ſi fanno dieciotto compoſitioni,
& altretante delle loro conuerſe. Trentaſei adunque ſeranno i modi utili. Ma quelle, che non ſi
compongono ſono ſei, & le loro conuerſe ſei, però dodici ſono inutili. Tutti i modi adunque ſi utili
7740 come inutili ſono quaranta otto.
Soppoſto adunque il primo modo, cioè che la proportione che è tra l’a e’lb.
composta ſia delle propor-
tioni, che ſono tra’l c. e’l d. & tra lo e. et lo f. Io dimoſtrero il ſecondo. che è compoſto della iſteſſa che
è tra c. & f. & tra e & d. perche io ponero tra c. & f. d. & e. & la proportione tra c. & f. ſerà
compoſta delle proportioni, che ſono tra c. & d, & tra d & e. & tra e & f, per il che ne ſeguirà, che
le proportioni che ſono tra c & f. & tra e & d. ſeranno compoſte delle proportioni, che ſono tra
c. & d. tra d & e. & tra e & f. & tra e & d. Ma le proportioni che ſono tra c & d. tra d. & e. &
tra e & d. compongono quella proportione che ė tra c & d, per la terza propoſitione poſti d & e.
tra c & d. adunque e a d, & c ad f, ſono ſi come c a d. & e ad f. ma la proportione, che è tra a & b,
è compostà delle proportioni, che ſono tra c. & d. & tra e & f. A dunque ancho la proportione tra
8850 a & b. ſerà compoſta delle proportioni che ſono tra c. & f. et tra e et d. che ſono le poſte nella con-
cluſione. Il terzo modo, è che ancho la proportione tra a et c, ſerà compoſta della proportione di b.
a d, et di c. ad f. Il ehe è manifeſto, perche poſto b. tra a. & c. la proportione che è tra a & c. ſerà
compoſta da quella, che è tra l’a & b, & tra b & c. ma la proportione che è tra a & b. ſi compo-
ne, da c & d. & da e & f. ſecondo il ſuppoſito adunque a a c è fatta di b & c. di c & d. & di e et f.
ma b a. c. & c. a. d. compongono la b. a. d. trappoſto il c tra b. & e.
tioni, che ſono tra’l c. e’l d. & tra lo e. et lo f. Io dimoſtrero il ſecondo. che è compoſto della iſteſſa che
è tra c. & f. & tra e & d. perche io ponero tra c. & f. d. & e. & la proportione tra c. & f. ſerà
compoſta delle proportioni, che ſono tra c. & d, & tra d & e. & tra e & f, per il che ne ſeguirà, che
le proportioni che ſono tra c & f. & tra e & d. ſeranno compoſte delle proportioni, che ſono tra
c. & d. tra d & e. & tra e & f. & tra e & d. Ma le proportioni che ſono tra c & d. tra d. & e. &
tra e & d. compongono quella proportione che ė tra c & d, per la terza propoſitione poſti d & e.
tra c & d. adunque e a d, & c ad f, ſono ſi come c a d. & e ad f. ma la proportione, che è tra a & b,
è compostà delle proportioni, che ſono tra c. & d. & tra e & f. A dunque ancho la proportione tra
8850 a & b. ſerà compoſta delle proportioni che ſono tra c. & f. et tra e et d. che ſono le poſte nella con-
cluſione. Il terzo modo, è che ancho la proportione tra a et c, ſerà compoſta della proportione di b.
a d, et di c. ad f. Il ehe è manifeſto, perche poſto b. tra a. & c. la proportione che è tra a & c. ſerà
compoſta da quella, che è tra l’a & b, & tra b & c. ma la proportione che è tra a & b. ſi compo-
ne, da c & d. & da e & f. ſecondo il ſuppoſito adunque a a c è fatta di b & c. di c & d. & di e et f.
ma b a. c. & c. a. d. compongono la b. a. d. trappoſto il c tra b. & e.
Adunque la proportione che è tra a.
&
c.
e compoſta di b.
&
d.
&
di e.
&
f.
Il quarto modo ſi come il
ſecondo modo dal primo, coſi il quarto prociede dal terzo poſti tra b. & f. communemente d. & e.
& coſi tutti i modi pari, con i lor difpari ſi collegano, per ſchifare il repeter quella iſteſſa uia. Il
quinto modo. Componeſi ancho a. ad e. di b. ad f. & di c. a d. perche poſto b. tra a. & e. ſi fa l’argo-
9960 mento del terzo, perche lo a. all’e. è compoſto dello a. al b. & del b all’e. ma lo a al b. è compoſto
dello e all’f. & del c al d. perche coſi s’è preſuppoſto. Adunque lo a al e, ſi compone del b all’c. dell’e
all’f. & del c al d. ma il b all’e. & l’e. all’f. compongono il b. all’f. trappoſto l’e tra’l b & lo f. la proportione adunque tra a & e è compoſta del-
le proportioni tra b. & f. é tra c. & d. Il ſeſto modo ſi caua dal quinto per l’argomento del ſecondo trappoſto f. & c. tra b & d. Il ſettimo. egli ſi
fa ſimilmente la proportione del b. al d. delle proportioni dell’a al c. & del f. all’e. perche eſſendo compoſto l’a al b. del c al d. & dell’e al f. ne ſe-
guirà per la quarta propoſitione, che la proportione tra’l b. & l’a. ſerà compoſta di d & c. & di f & e. poſto adunque a trab & d. la propor-
tion, che è tra b & d. ſer à fatta di b & a, & di a, & d. Ma b & a. è compoſto di d & c, & di f. & e. Adunque la proportione di b. a. d. ſer à
compoſtà di tre proportioni, cioé di a. a. d. di d. a. c. & di f. ad e. Ma la a. al. d, & la d al c. compõgono, quella che é tra a & c. trapposto d. tra d.
& c. Adunque la proportione di b a d. ſer à compoſta delle proportioni di a. a. c. & di f. ad e. il che era il propoſto. L’ottauo modo. ſi come preſup-
poſto il primo ſi caua il ſecondo modo, coſi per lo iſteſſo argomento ſi caua l’ottauo da i ſuppoſti, & prouati ne i prècedenti, trappoſto e. &
101070 f. tra a & e. Il nono modo. ſimilmente la proportione di b ad f, ſer à fatta delle proportioni dell’a all’e. & del d al c. perche b. ad a. è composto
del d al c. & del f. all’e trappoſto l’a tra’lb & lo f. ſerà la proportion tra’l b et la f. cõpostà della b. all’a. & dell’a al f. & però la b al f. ſerà cõpo-
ſtà dell’a. al f. & del f. al’e, & del d. al c. ma la a. al f & lo f. all’e. cõpongono l’a all’e. A dunque la b al f. è cõpoſta della a all’e, & della d. al c. Il deci
mo con l’argomento del ſecondo procede dalle coſe prouate nel precedente, trappoſto e & d. tra a & c. L’undecimo. egli ſi cõpone ancho la c, al
d. dalla a al b. & dalla f. al c. perche per la terza la a al c. ſi compone della b. al d. & della e alla f. egli ſi cõponerà la c alla a. dal d. al b. & dal f.
alla c. posto adunque a tra c & d. ſarà la c. al d. compoſta dalla a. al d. della d. al b. & dalla f. al c. ma la a al d. & la d. al b. compongono la a al b.
ſecondo modo dal primo, coſi il quarto prociede dal terzo poſti tra b. & f. communemente d. & e.
& coſi tutti i modi pari, con i lor difpari ſi collegano, per ſchifare il repeter quella iſteſſa uia. Il
quinto modo. Componeſi ancho a. ad e. di b. ad f. & di c. a d. perche poſto b. tra a. & e. ſi fa l’argo-
9960 mento del terzo, perche lo a. all’e. è compoſto dello a. al b. & del b all’e. ma lo a al b. è compoſto
dello e all’f. & del c al d. perche coſi s’è preſuppoſto. Adunque lo a al e, ſi compone del b all’c. dell’e
all’f. & del c al d. ma il b all’e. & l’e. all’f. compongono il b. all’f. trappoſto l’e tra’l b & lo f. la proportione adunque tra a & e è compoſta del-
le proportioni tra b. & f. é tra c. & d. Il ſeſto modo ſi caua dal quinto per l’argomento del ſecondo trappoſto f. & c. tra b & d. Il ſettimo. egli ſi
fa ſimilmente la proportione del b. al d. delle proportioni dell’a al c. & del f. all’e. perche eſſendo compoſto l’a al b. del c al d. & dell’e al f. ne ſe-
guirà per la quarta propoſitione, che la proportione tra’l b. & l’a. ſerà compoſta di d & c. & di f & e. poſto adunque a trab & d. la propor-
tion, che è tra b & d. ſer à fatta di b & a, & di a, & d. Ma b & a. è compoſto di d & c, & di f. & e. Adunque la proportione di b. a. d. ſer à
compoſtà di tre proportioni, cioé di a. a. d. di d. a. c. & di f. ad e. Ma la a. al. d, & la d al c. compõgono, quella che é tra a & c. trapposto d. tra d.
& c. Adunque la proportione di b a d. ſer à compoſta delle proportioni di a. a. c. & di f. ad e. il che era il propoſto. L’ottauo modo. ſi come preſup-
poſto il primo ſi caua il ſecondo modo, coſi per lo iſteſſo argomento ſi caua l’ottauo da i ſuppoſti, & prouati ne i prècedenti, trappoſto e. &
101070 f. tra a & e. Il nono modo. ſimilmente la proportione di b ad f, ſer à fatta delle proportioni dell’a all’e. & del d al c. perche b. ad a. è composto
del d al c. & del f. all’e trappoſto l’a tra’lb & lo f. ſerà la proportion tra’l b et la f. cõpostà della b. all’a. & dell’a al f. & però la b al f. ſerà cõpo-
ſtà dell’a. al f. & del f. al’e, & del d. al c. ma la a. al f & lo f. all’e. cõpongono l’a all’e. A dunque la b al f. è cõpoſta della a all’e, & della d. al c. Il deci
mo con l’argomento del ſecondo procede dalle coſe prouate nel precedente, trappoſto e & d. tra a & c. L’undecimo. egli ſi cõpone ancho la c, al
d. dalla a al b. & dalla f. al c. perche per la terza la a al c. ſi compone della b. al d. & della e alla f. egli ſi cõponerà la c alla a. dal d. al b. & dal f.
alla c. posto adunque a tra c & d. ſarà la c. al d. compoſta dalla a. al d. della d. al b. & dalla f. al c. ma la a al d. & la d. al b. compongono la a al b.