11381TERTIVS.
Vtriuſque generis proprium eſt, ut ſecundum collationem , comparationemq́;
res æquales, uel inæquales´ mutuo
dicantur, nam res omnis alteri comparata uel æqualis illi eſſe cernitur, uel inæqualis, nam uel tanta est, quan-
ta eſt alia, uel maior, uel minor. Proportio igitur eſt ex earum numero, quæ per ſe nec ſunt, nec intelliguntur ,
ſed id, quod ſunt ad aliud referuntur. & ex proportionibus aliæ inter res æquales, aliæ inter inæquales cadent.
Vnde proportio est determinata rerum duarum, quæ ſub eodem genere continentur, habitudo. Determinata in-
quam non ad nos relata, neque in ſe certa , ſed huiuſmodi , ut alia eſſe non poßit. Sub eodem autem genere,
quia nemo lineam maiorem, uel minorem, uel æqualem ſuperficiei dixerit, ſed alteri lineæ, nec ſuperficiem cor-
pori, ſed alteri plano comparabit. cum ergo proportio in quantitate ſit , duplexq́; ſit quantitatis genus ( ut di-
xi ) certe tam in menſuris, quàm in numeris, ac etiam in his rebus, quæ ex menſuris, & numeris componun-
1110 tur, inuenietur, Quæ igitur ad menſuras proportio pertinet, Geometrarum propria eſt; quæ ad numeros, eorum
qui numer andi ſcientiam profitentur; quæ ad utrumque genus Muſicis accommodatur, harmonicaq́; nuncupa-
tur. Nos modo de ſimplicibus illis dicemus , ſed libro quinto de permixta illa ex utriſque generibus , cum de
muſica ratione tractabimus copioſe diſſeremus. Magnitudines, & numeri inter ſe comparati, aut pares,
æqualesq́; ſunt, aut ſe ſe mutuo ſuccedunt . Pares, æqualesq́; intelligo, cum nihil amplius uni ſit, quàm alteri.
impares, & ſe ſe eccedentes, cum quid maius, aut minus in eis eſſe dignoſcitur. Aequalium, pariumq́; nullum
aliud genus eſt, nam cum res inter ſe æquabili ratione conferuntur , unius formæ comparatio inter eas cadit.
Inæqualium plura ſunt genera, ac totidem, quotres una altera maior eſſe potest . maiorem intelligo contine-
re minorem integram, uel amplius aliquid. Inæqualitatis igitur proportio, aut ſimplex est, aut compoſita. ſim
plex est, cum quod maius est, minus continet uel pluribus uicibus. ſi pluribus uicibus ita , ut ex inte-
2220 gro nihil ſuperſit, tunc proportio ea conficitur, quæ multiplex nominatur. Ita quatuor continet duo bis . Sex
continet duo ter. Octo duo quater. & nihil amplius. ſi una uice quod plus eſt continet minus, uel unã inſuper præ-
ter integram partem eius continet, uel plures. ſi unam, uel illa est dimidium, uel tertia pars, uel quarta, & ita
in infinitum. Atque hæc proportio ſuperparticularis nominatur. ſeſquialtera ſi dimidium, ſeſquitertia, ſi ter-
tiam partem, ſeſquiquarta ſi quartam continet, & ita in infinitum. Si vero maius continet minus integre , &
aliquas eius partes, tunc ſuperpartiens nominatur illarum comparatio . aliquas autem partes intelligo, non
ut aiunt numerantes , ſed ex illis conſtantes. Pars enim numerans dicitur ea, quæ integram rem certis uicibus
deſumpta conſtituit. Cuiuſmodi duo pars est numerans ſenarium, nam ter duo conſtituunt ſex . quatuor item
numerat. 12. nam ter quatuor duodecim efficiunt . huiuſmodi partes quotas etiam appellare ſolent . ſuper-
partiens igitur ratio eſt quotiens maius, minus ſemel continet , & partem ipſius minoris non quotam, & nu-
3330 merantem, ſed ex illis quotis, & numerantibus prouenientem. ſic quinque continet tres ſemel , & duas eius
partes, unde appellatur proportio bipartiens tertias, ſeptem continet quatuor, & tres quartas, & appellatur
proportio tripartiens quartas, & nouem continet quinque, & quatuor eius quintas, & appellatur proportio
quadripartiens quintas, atque ita in infinitum. Simplices igitur comparationes hæ ſunt, multiplex, ſupraparti-
cularis, ſuprapartiens. Compoſitæ autem vim, & naturam ſimplicium tenent , nam vel multiplex eſt, & ſu-
praparticularis, vel multiplex, & ſuprapartiens. quatenus multiplex maius continebit rem integram pluri-
bus uicibus; quatenus ſupra particularis, continebit amplius, aliquam eius partem, quotam ſcilicet , & nu-
merantem; quatenus ſupraparticularis continebit amplius partem non quotam , & numerantem, ſed ex quo-
tis, & numerantibus prouenientem. multiplex ſupraparticularis eſt inter decem, & quatuor, nam decem con-
tinet quatuor bis, unde multiplicis nomen ſortitur , & dimidium , vnde ſeſquialtera nuncupatur, quare du-
plex ſeſquialtera dicetur. multiplex ſuprapartiens est inter octo, & tria, nam octo continet tria bis, unde mul-
4440 tiplicis ratio naſcitur, & duo, unde ſuprapartiens nominatur, atque ita inter octo & tria erit proportio dupla
bipartiens tertias . Oriuntur autem proportiones e numeris certo quodam ordine diſpoſitis , & collocatis. ac
primum ſupraparticulares rationes ita fient. Diſpone a ternario numeros ſe ſe ut natura fert, conſequentes. at-
que eo in primo , & ſuperiori ordine collocabis , ſubſcribes eoſdem a binario natura ſe conſequentes quem-
admodum uides.
dicantur, nam res omnis alteri comparata uel æqualis illi eſſe cernitur, uel inæqualis, nam uel tanta est, quan-
ta eſt alia, uel maior, uel minor. Proportio igitur eſt ex earum numero, quæ per ſe nec ſunt, nec intelliguntur ,
ſed id, quod ſunt ad aliud referuntur. & ex proportionibus aliæ inter res æquales, aliæ inter inæquales cadent.
Vnde proportio est determinata rerum duarum, quæ ſub eodem genere continentur, habitudo. Determinata in-
quam non ad nos relata, neque in ſe certa , ſed huiuſmodi , ut alia eſſe non poßit. Sub eodem autem genere,
quia nemo lineam maiorem, uel minorem, uel æqualem ſuperficiei dixerit, ſed alteri lineæ, nec ſuperficiem cor-
pori, ſed alteri plano comparabit. cum ergo proportio in quantitate ſit , duplexq́; ſit quantitatis genus ( ut di-
xi ) certe tam in menſuris, quàm in numeris, ac etiam in his rebus, quæ ex menſuris, & numeris componun-
1110 tur, inuenietur, Quæ igitur ad menſuras proportio pertinet, Geometrarum propria eſt; quæ ad numeros, eorum
qui numer andi ſcientiam profitentur; quæ ad utrumque genus Muſicis accommodatur, harmonicaq́; nuncupa-
tur. Nos modo de ſimplicibus illis dicemus , ſed libro quinto de permixta illa ex utriſque generibus , cum de
muſica ratione tractabimus copioſe diſſeremus. Magnitudines, & numeri inter ſe comparati, aut pares,
æqualesq́; ſunt, aut ſe ſe mutuo ſuccedunt . Pares, æqualesq́; intelligo, cum nihil amplius uni ſit, quàm alteri.
impares, & ſe ſe eccedentes, cum quid maius, aut minus in eis eſſe dignoſcitur. Aequalium, pariumq́; nullum
aliud genus eſt, nam cum res inter ſe æquabili ratione conferuntur , unius formæ comparatio inter eas cadit.
Inæqualium plura ſunt genera, ac totidem, quotres una altera maior eſſe potest . maiorem intelligo contine-
re minorem integram, uel amplius aliquid. Inæqualitatis igitur proportio, aut ſimplex est, aut compoſita. ſim
plex est, cum quod maius est, minus continet uel pluribus uicibus. ſi pluribus uicibus ita , ut ex inte-
2220 gro nihil ſuperſit, tunc proportio ea conficitur, quæ multiplex nominatur. Ita quatuor continet duo bis . Sex
continet duo ter. Octo duo quater. & nihil amplius. ſi una uice quod plus eſt continet minus, uel unã inſuper præ-
ter integram partem eius continet, uel plures. ſi unam, uel illa est dimidium, uel tertia pars, uel quarta, & ita
in infinitum. Atque hæc proportio ſuperparticularis nominatur. ſeſquialtera ſi dimidium, ſeſquitertia, ſi ter-
tiam partem, ſeſquiquarta ſi quartam continet, & ita in infinitum. Si vero maius continet minus integre , &
aliquas eius partes, tunc ſuperpartiens nominatur illarum comparatio . aliquas autem partes intelligo, non
ut aiunt numerantes , ſed ex illis conſtantes. Pars enim numerans dicitur ea, quæ integram rem certis uicibus
deſumpta conſtituit. Cuiuſmodi duo pars est numerans ſenarium, nam ter duo conſtituunt ſex . quatuor item
numerat. 12. nam ter quatuor duodecim efficiunt . huiuſmodi partes quotas etiam appellare ſolent . ſuper-
partiens igitur ratio eſt quotiens maius, minus ſemel continet , & partem ipſius minoris non quotam, & nu-
3330 merantem, ſed ex illis quotis, & numerantibus prouenientem. ſic quinque continet tres ſemel , & duas eius
partes, unde appellatur proportio bipartiens tertias, ſeptem continet quatuor, & tres quartas, & appellatur
proportio tripartiens quartas, & nouem continet quinque, & quatuor eius quintas, & appellatur proportio
quadripartiens quintas, atque ita in infinitum. Simplices igitur comparationes hæ ſunt, multiplex, ſupraparti-
cularis, ſuprapartiens. Compoſitæ autem vim, & naturam ſimplicium tenent , nam vel multiplex eſt, & ſu-
praparticularis, vel multiplex, & ſuprapartiens. quatenus multiplex maius continebit rem integram pluri-
bus uicibus; quatenus ſupra particularis, continebit amplius, aliquam eius partem, quotam ſcilicet , & nu-
merantem; quatenus ſupraparticularis continebit amplius partem non quotam , & numerantem, ſed ex quo-
tis, & numerantibus prouenientem. multiplex ſupraparticularis eſt inter decem, & quatuor, nam decem con-
tinet quatuor bis, unde multiplicis nomen ſortitur , & dimidium , vnde ſeſquialtera nuncupatur, quare du-
plex ſeſquialtera dicetur. multiplex ſuprapartiens est inter octo, & tria, nam octo continet tria bis, unde mul-
4440 tiplicis ratio naſcitur, & duo, unde ſuprapartiens nominatur, atque ita inter octo & tria erit proportio dupla
bipartiens tertias . Oriuntur autem proportiones e numeris certo quodam ordine diſpoſitis , & collocatis. ac
primum ſupraparticulares rationes ita fient. Diſpone a ternario numeros ſe ſe ut natura fert, conſequentes. at-
que eo in primo , & ſuperiori ordine collocabis , ſubſcribes eoſdem a binario natura ſe conſequentes quem-
admodum uides.
3.
#4.
#5.
#6.
#7.
#8.
#9.
#10.
#11.
#12.
#hi ſunt numeri a quibus incipit comparatio.
2. #3. #4. #5. #6. #7. #8. #9. #10. #11. #hi ſunt numeri in quos deſinit comparatio , & ad
quos ſuperiores ſe habent in ſupraparticulari proportione, nam. 3. ad. 2. est ſeſquialtera. 4. ad. 3.
ſeſquitertia. 5. ad. 4. ſeſquiquarta, & ita in infinitum. Superpartiens oritur imparibus numeris ſua ſe-
rie ſuprapoſitis, modo a quinario incipias, & a numeris naturali ordine, ſi conſequentibus a ternario in
5550 hunc modum.
2. #3. #4. #5. #6. #7. #8. #9. #10. #11. #hi ſunt numeri in quos deſinit comparatio , & ad
quos ſuperiores ſe habent in ſupraparticulari proportione, nam. 3. ad. 2. est ſeſquialtera. 4. ad. 3.
ſeſquitertia. 5. ad. 4. ſeſquiquarta, & ita in infinitum. Superpartiens oritur imparibus numeris ſua ſe-
rie ſuprapoſitis, modo a quinario incipias, & a numeris naturali ordine, ſi conſequentibus a ternario in
5550 hunc modum.
5.
#7.
#9.
#11.
#13.
#15.
#17.
#19.
#21.
#numeri a quibus incipit comparatio.
3. #4. #5. #6. #7. #8. #9. #10. #11. #numeri in quos deſinit comparatio. atque ita. 5.
ad 3. bipartiens tertias. 7. ad 4. tripartiens quartas. 9. ad. 5, quadripartiens quintas, & ſic de
ſingulis. quod ſi ſuperiorem imparium numerorum ordinem a quinario orſus adſcribes, inferius autem a bina-
rio natur ali ordine præcedentes numeros ſubſcribes , differentias multiplicis ſupraparticularis , ſub ratione
dupla, content as conficies.
3. #4. #5. #6. #7. #8. #9. #10. #11. #numeri in quos deſinit comparatio. atque ita. 5.
ad 3. bipartiens tertias. 7. ad 4. tripartiens quartas. 9. ad. 5, quadripartiens quintas, & ſic de
ſingulis. quod ſi ſuperiorem imparium numerorum ordinem a quinario orſus adſcribes, inferius autem a bina-
rio natur ali ordine præcedentes numeros ſubſcribes , differentias multiplicis ſupraparticularis , ſub ratione
dupla, content as conficies.
5.
#7.
#9.
#11.
#13.
#15.
#17.
#19.
#21.
2.
#3.
#4.
#5.
#6.
#7.
#8.
#9.
#10.
Siaſeptenario incœperis per impares procedendo,
& eandem in inferiori ſerie ſucceſſionem a binario ſeruaueris, multiplicis ſuperparticularis formas , ſub ratio-
6660 ne tripla constitues.
& eandem in inferiori ſerie ſucceſſionem a binario ſeruaueris, multiplicis ſuperparticularis formas , ſub ratio-
6660 ne tripla constitues.