6860LIBRO
L’eßempio di quanto hauemo detto prima prenderemo nelle moltiplici.
Poniam caſo, che uogliamo ſottrare una doppia da una tripla, partirai
adunque tre che e denominator della tripla, per due che, è, il denominator della doppia, ſi fara uno e mezzo, dalquale ſi denomina la ſeſquialte-
ra, da queſto partimento adunque ſi genera la ſeſquialtera.
adunque tre che e denominator della tripla, per due che, è, il denominator della doppia, ſi fara uno e mezzo, dalquale ſi denomina la ſeſquialte-
ra, da queſto partimento adunque ſi genera la ſeſquialtera.
Siano queſti numeri in proportion tripla noue tre, &
in doppia quattro ė due.
Multiplica noue per due ne uien diciotto, &
tre in quattro ne uien dodici, alqual numero diciotto e in proportione ſeſquialtera.
Prenderemo
ancho l’eſſempio di ſottrare dalla ſopraparticolare, come ſarebbe leuare una ſeſquiterza da una ſeſquialtera, parti adunque il denominato-
re della ſeſquialtera, che ė uno è mezzo, per lo denominatore della ſeſquiterza, che ė uno & un terzo, ne ſeguira uno e un’ottauo, dalla pro-
posta ſottratione adunque ne reſta una ſeſquiottaua, ne i numeri queſto ſi uedė tre à due e in ſeſquialtera, quattro à tre in ſeſquiterza, mol-
tiplica tre per tre ſa noue, quattro per due fa otto, ma noue ad otto, ė, in proportione ſeſquiottaua.
ancho l’eſſempio di ſottrare dalla ſopraparticolare, come ſarebbe leuare una ſeſquiterza da una ſeſquialtera, parti adunque il denominato-
re della ſeſquialtera, che ė uno è mezzo, per lo denominatore della ſeſquiterza, che ė uno & un terzo, ne ſeguira uno e un’ottauo, dalla pro-
posta ſottratione adunque ne reſta una ſeſquiottaua, ne i numeri queſto ſi uedė tre à due e in ſeſquialtera, quattro à tre in ſeſquiterza, mol-
tiplica tre per tre ſa noue, quattro per due fa otto, ma noue ad otto, ė, in proportione ſeſquiottaua.
Similmente nelle ſoprapartienti ſi dara lo eſſempio.
Leuaſi una bipartiente le terze, da una tripartiente le quarte.
partendo uno, è tre quar-
1110 ti, per uno è due terzi, ne riſulta uno & un decimo, dalche è denominata la proportione ſeſquiuigeſima, laquale ancho ci ſara data da i nu-
meri iſtesſi, come ſette à quattro, cinque à tre, moltiplica ſette per tre, ne uien uent’ uno, & cinque per quattro ne uien uenti, & uinti uno,
à, uenti, è in proportione ſeſquiuigeſima, la quale è quella proportione, che reſta dal ſottrare una bipartienti le terze da una tripartiente le
quarte.
1110 ti, per uno è due terzi, ne riſulta uno & un decimo, dalche è denominata la proportione ſeſquiuigeſima, laquale ancho ci ſara data da i nu-
meri iſtesſi, come ſette à quattro, cinque à tre, moltiplica ſette per tre, ne uien uent’ uno, & cinque per quattro ne uien uenti, & uinti uno,
à, uenti, è in proportione ſeſquiuigeſima, la quale è quella proportione, che reſta dal ſottrare una bipartienti le terze da una tripartiente le
quarte.
Dal partire adunque la proportione della maggior diſaguaglianza per la ragion, &
proportione della minor, ne naſcera la proportione del-
la maggior, menor dell’una, & dell’ altra, il ſimigliante giudicar ſi deue delle proportioni disſimiglianti della diſaguaglienza minore, percio-
che ne naſcera la proportione della minor diſaguaglianza, parimente menor dell’una & dell’altra, ma ſe amendue le proportioni ſerannno ò
della maggior, ò della minor diſaguaglianza, & tra ſe ſimiglianti, cioe ſe la propoſta proportione ſi partira per ſe ſteſſa, ne riſoltera la ragione
dell’aguaglianza.
la maggior, menor dell’una, & dell’ altra, il ſimigliante giudicar ſi deue delle proportioni disſimiglianti della diſaguaglienza minore, percio-
che ne naſcera la proportione della minor diſaguaglianza, parimente menor dell’una & dell’altra, ma ſe amendue le proportioni ſerannno ò
della maggior, ò della minor diſaguaglianza, & tra ſe ſimiglianti, cioe ſe la propoſta proportione ſi partira per ſe ſteſſa, ne riſoltera la ragione
dell’aguaglianza.
Et ſe in ſomma una ſera della maggiore diſaguaglianza, &
l´altra della minore, ſi produra una proportione, che tenira piu in queſta parte dalla
2220 proportione, che ſi deue partire, che da quella, che parte, & ſera quella, che ſi eſprime per il numero maggiore.
2220 proportione, che ſi deue partire, che da quella, che parte, & ſera quella, che ſi eſprime per il numero maggiore.
E tanto uoglio che detto ſia dello accreſcere, ſcemare, &
partire delle proportioni, ilche ſe nelle fabriche, &
ne gli edificij uorremo oſſeruare,
non ha dubbio,, che noi non ſappiamo dar, & tuore grandezza, & moderare quanto ci parera in ogni occaſione di componimento.
non ha dubbio,, che noi non ſappiamo dar, & tuore grandezza, & moderare quanto ci parera in ogni occaſione di componimento.
Reſta che noi portamo inanzi quello, che piu importa, &
è coſa mirabile per ſaper le comparationi, &
delle ſimiglianze delle proportioni, &
ci giouera nelle coſe ciuili, ne i diſcorſi della muſica, & in molte coſe, che tutto di ci uengono per le mani, & ſono coſe preſe da Alchindo an-
tiquo authore, delquale ce ne ha fatto copia il Reuerendisſimo Philippo Archinto Lega o di ſua Santita alli Signor Venetiani, benche in eſſo
libretto ci ſiano molte coſe delle antedette, co ne ſono le infraſcritte. La diffinitione della proportione, & altri principij che à me non graue-
ra poner qui ſotto ſecondo l’ordine dello antedetto authore, per eſſer coſa d importanza & breui. Sono adunque poſte prima quattro, dif-
finitioni, & ſono queſte. Proportione e habitudine mutua di due quantita ſotto un’iſteſſo genere.
ci giouera nelle coſe ciuili, ne i diſcorſi della muſica, & in molte coſe, che tutto di ci uengono per le mani, & ſono coſe preſe da Alchindo an-
tiquo authore, delquale ce ne ha fatto copia il Reuerendisſimo Philippo Archinto Lega o di ſua Santita alli Signor Venetiani, benche in eſſo
libretto ci ſiano molte coſe delle antedette, co ne ſono le infraſcritte. La diffinitione della proportione, & altri principij che à me non graue-
ra poner qui ſotto ſecondo l’ordine dello antedetto authore, per eſſer coſa d importanza & breui. Sono adunque poſte prima quattro, dif-
finitioni, & ſono queſte. Proportione e habitudine mutua di due quantita ſotto un’iſteſſo genere.
La ſeconda ė che quando di due quantit à compreſe ſotto uno iſteſſo genere una parte l’altra, quello, che reſta e la proportione della partita, alla
3330partitrice.
3330partitrice.
La terza è, che la prodottione, ò la compoſitione d’una proportione dall’altra, non ė altro, che la denominatione eſſer prodotta dalle denomi-
nationi.
nationi.
La quarta è, che l’eſſer diuiſa una proportione per un’altra, ò uero eſſer ſottrata, non e altro, che quando la denominatione della proportione
da eſſer partita, è diuiſa per la denomination di quella che diuide. Queſte ſoprapoſte diffinitioni ſono ſtate da noi chiaramente eſpoſte di ſo-
pra, ſeguitano le propoſitioni.
da eſſer partita, è diuiſa per la denomination di quella che diuide. Queſte ſoprapoſte diffinitioni ſono ſtate da noi chiaramente eſpoſte di ſo-
pra, ſeguitano le propoſitioni.
La prima è, ſe la denominatione della proportione di qual ti piace di due eſtremi ſer à moltiplicata nel ſecondo ſi produr à il primo, perche ſe per
la ſeconda diffinitione partito il primo per il ſecondo, ne naſce il denominatore, adunque moltiplicata la denominatione nel ſecondo, ne na-
ſce il primo.
la ſeconda diffinitione partito il primo per il ſecondo, ne naſce il denominatore, adunque moltiplicata la denominatione nel ſecondo, ne na-
ſce il primo.
La ſeconda quando che tra due è interposto un mezzo che habbia proportione con amendue la proportione che hauera il primo al terzo ſerd
4440 compoſta dalle proportioni che ha il primo al mezzo: & il mezzo al terzo & queſto ancho è noto.
4440 compoſta dalle proportioni che ha il primo al mezzo: & il mezzo al terzo & queſto ancho è noto.
Sian tre termini due, quattro, dodeci;
&
quello di mezzo habbia qualche proportione con gli estremi, io dico che la proportione, che é tra il pri-
mo, & il terzo, e composta dalla proportione, che è tra il primo, & il mezzano, & tra il mezzano, & il terzo, eßendo adunque tra due, &
dodici ſeſtupla, dico che ella è compoſta della proportione, che ha due à quattro, & quattro à dodici. ecco il denominatore della proportione
che e tra due ė quattro, e due, adunque tra queſti è proportione doppia, & il denominatore della proportione che è tra quattro e dodici, e tre
adunque tra questi ui cade proportione tripla, ſia adunque à due, b quattro, c. dodici. d. il denominatore tra due e quattro, ė il denominatore
tra b & . c. & f. il denominatore tra a & . c. perche adunque dal f. nel. c. ſi fa lo a, & dal e nel. c. ſi fa b. per la prima propoſitione, l’o f. all’e, e
come lo a al b. & pero eſſendo il d, il denominatore tra l’ a & il. b. egli ſera il denominatore f all’e. adunque per la iſteſſa prima proportione
dal d in e ſi fà l’o ſ. perche adunque la denominatione dello a al c. e prodetta dalla denominatione del b al c, ne ſegue per la terza diffinitione
che la proportione, che e tra lo a & il c. come tra due & dodici, che ė la ſeſtupla ſia compoſta dalla proportione che è tra l’a e’l b, cioe tra due
5550 e quattro che e la doppia, & tra il b, & il. c. che e tra quattro e dodici doue, e proportione tripla, adunque da una doppia, & da una tripla ne
naſce una ſeſtupla, & queſto ancho di ſopra e ſtato dichiarato.
mo, & il terzo, e composta dalla proportione, che è tra il primo, & il mezzano, & tra il mezzano, & il terzo, eßendo adunque tra due, &
dodici ſeſtupla, dico che ella è compoſta della proportione, che ha due à quattro, & quattro à dodici. ecco il denominatore della proportione
che e tra due ė quattro, e due, adunque tra queſti è proportione doppia, & il denominatore della proportione che è tra quattro e dodici, e tre
adunque tra questi ui cade proportione tripla, ſia adunque à due, b quattro, c. dodici. d. il denominatore tra due e quattro, ė il denominatore
tra b & . c. & f. il denominatore tra a & . c. perche adunque dal f. nel. c. ſi fa lo a, & dal e nel. c. ſi fa b. per la prima propoſitione, l’o f. all’e, e
come lo a al b. & pero eſſendo il d, il denominatore tra l’ a & il. b. egli ſera il denominatore f all’e. adunque per la iſteſſa prima proportione
dal d in e ſi fà l’o ſ. perche adunque la denominatione dello a al c. e prodetta dalla denominatione del b al c, ne ſegue per la terza diffinitione
che la proportione, che e tra lo a & il c. come tra due & dodici, che ė la ſeſtupla ſia compoſta dalla proportione che è tra l’a e’l b, cioe tra due
5550 e quattro che e la doppia, & tra il b, & il. c. che e tra quattro e dodici doue, e proportione tripla, adunque da una doppia, & da una tripla ne
naſce una ſeſtupla, & queſto ancho di ſopra e ſtato dichiarato.
Seguita la terza propoſitione di Alchindo.
Siano quanti mezzi ſi uoglia io dico, che la propoſitione che è tra gli eſtremi, e compoſta delle pro-
portioni di tutti gli intermedij.
portioni di tutti gli intermedij.
Sia tra a, &
d due intermedij.
b c.
io dico che la proportione di a ad d.
e compoſta delle proportioni, che ſono tra a &
b.
tra b &
c.
tra c &
d.
im-
peroche per la precedente la proportione, che e tra a & d. e composta dalla proportione che e tra b. & d. & b a d, ma la proportione che e
tra b & d. e fatta dalla proportione, che è tra b & c. & tra. c. & d, per la iſteſſi propoſitione, & però la proportione che è tra à & d. e fat-
ta da tutte le proportioni, che ſono tra gli intermedij, & coſi ſi hauera à prouare quando fuſſero piu intermedij, & questo ancho di ſopra
con eſſempi e stato dichiarito, & la replica è fatta ſi per ſeguitar l’ordine di Alchindo, come per eſſercitio della memoria in coſa di tanta
importanza.
6660peroche per la precedente la proportione, che e tra a & d. e composta dalla proportione che e tra b. & d. & b a d, ma la proportione che e
tra b & d. e fatta dalla proportione, che è tra b & c. & tra. c. & d, per la iſteſſi propoſitione, & però la proportione che è tra à & d. e fat-
ta da tutte le proportioni, che ſono tra gli intermedij, & coſi ſi hauera à prouare quando fuſſero piu intermedij, & questo ancho di ſopra
con eſſempi e stato dichiarito, & la replica è fatta ſi per ſeguitar l’ordine di Alchindo, come per eſſercitio della memoria in coſa di tanta
importanza.
La quarta, é, che ſe alcuna proportione è compoſta di due proportioni, la ſua conuerſa è compoſta delle conuerſe.
Sia la proportione della
a al b composta della proportione del c al d. & dell’e al f. io dico, che la proportione del b all’a. ſera compoſta della proportione del d al c. &
del f al c. perche ſian continuate le proportioni del c al d, & del e all’ f. tra g. h. K. di modo che il g, ſia allo h, come il c al d, & l’h al K. come
l’e all’ f io dico che l’a al b ſera compoſta della proportione del g all’h, & dell’h al K, & però per la ſeconda propoſitione la proportione del
a al b ſer a come la proportione del g al K adunque all’incontro la proportione, del b all’a, ſer à come K al g ma la proportione del K al g per
la isteſſa propoſitione, fatta dalla proportione del K al h, & del h al g, ma il K al h, ė come l’ f all’e. & l’h al g, & come il d al c. adunque il
b all’a ſera compoſto dalla proportione che è tra il d & c. & tre l’ f. & l’e. hasſi adunque l’intento ilche praticato ne i numeri, chiaramente
ſi uede.
a al b composta della proportione del c al d. & dell’e al f. io dico, che la proportione del b all’a. ſera compoſta della proportione del d al c. &
del f al c. perche ſian continuate le proportioni del c al d, & del e all’ f. tra g. h. K. di modo che il g, ſia allo h, come il c al d, & l’h al K. come
l’e all’ f io dico che l’a al b ſera compoſta della proportione del g all’h, & dell’h al K, & però per la ſeconda propoſitione la proportione del
a al b ſer a come la proportione del g al K adunque all’incontro la proportione, del b all’a, ſer à come K al g ma la proportione del K al g per
la isteſſa propoſitione, fatta dalla proportione del K al h, & del h al g, ma il K al h, ė come l’ f all’e. & l’h al g, & come il d al c. adunque il
b all’a ſera compoſto dalla proportione che è tra il d & c. & tre l’ f. & l’e. hasſi adunque l’intento ilche praticato ne i numeri, chiaramente
ſi uede.
Finite le diffinitioni, &
le propoſitioni, che pone A lchindo, ſi uiene alle regole, lequali ſono queſte.
Quando di ſei quantita la proportione che è tra la prima, &
la ſeconda e compoſta della proportione che ha la terza alla quarta, &
la quinta
7770 alla ſeſta, ſi fanno trecento, & ſeſſanta ſpecie di compoſitioni, di trentaſei dellequali ſolamente ſi potemo ſeruire, il restante è inutile, &
queſto è manifeſto ſe noi ponemo che la proportione tra a & b ſia compoſta della proportione che e tra c & d & tra e & f. perche eſſendo
i termini ſei, ſi puo intender la proportione di due qual ſi uoglia eſſer compoſta di due proportioni che ſiano tra i quattro reſtanti termini,
ilche ſera dichiarito poterſi fare per uia della moltiplicatione.
7770 alla ſeſta, ſi fanno trecento, & ſeſſanta ſpecie di compoſitioni, di trentaſei dellequali ſolamente ſi potemo ſeruire, il restante è inutile, &
queſto è manifeſto ſe noi ponemo che la proportione tra a & b ſia compoſta della proportione che e tra c & d & tra e & f. perche eſſendo
i termini ſei, ſi puo intender la proportione di due qual ſi uoglia eſſer compoſta di due proportioni che ſiano tra i quattro reſtanti termini,
ilche ſera dichiarito poterſi fare per uia della moltiplicatione.
Da questi ſei termini prouengono trenta ſpatij diſtinti.
dieci dallo a.
otto dal b.
ſei dal c.
quattro dal d.
due dal e.
&
niuno dal f.
perche